Determine as derivodos parciais indicodos: f(x, y) = y^4 - 2 x^2 y^3 ; fx(1, 1) e f_y(0,1)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A questão nos apresenta a função e nos pede para encontrar as derivadas parciais dessa função em pontos específicos: e .
Aqui, estamos trabalhando com cálculo, mais especificamente com derivadas parciais. Derivadas parciais são usadas quando temos funções de mais de uma variável e queremos ver como a função muda em relação a uma dessas variáveis, mantendo as outras constantes. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais em geral e depois aplicá-las nos pontos indicados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é chamada de . Para isso, tratamos como uma constante e derivamos em relação a .
A função é:
Derivando em relação a :
A derivada de em relação a é zero, porque é tratado como uma constante. Já a derivada de em relação a é:
Então:

Passo 3

Agora que temos a expressão para , vamos substituir os valores e para encontrar .
Substituindo na expressão:
Então, .

Passo 4

Agora vamos calcular a derivada parcial de em relação a , chamada de . Desta vez, tratamos como constante e derivamos em relação a .
A função é:
Derivando em relação a :
A derivada de em relação a é:
E a derivada de em relação a é:
Então:

Passo 5

Agora que temos a expressão para , vamos substituir os valores e para encontrar .
Substituindo na expressão:
Então, .

Resposta

As derivadas parciais solicitadas são:

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Determine se a sequência a_n = (n^3 + 2n + 1) / (n^3 + n^2 + n + 1) converge. Se sim, encontre o limite.
Determine as derivodes parciais de primeina ordem da funcãa: f(x, y) = y^3 - 3 x y
(a) Calcule integralC1 G cdot d r, onde C1 é o semi-círculo x^2+y^2=4, y >= 0 (percorrido no sentido anti-horário).
(b) Calcule integralC2 G cdot d r, onde C2 é o segmento de reta que liga (2,0) e (-2,0) (percorrido nessa direção).
© Calcule ointC G cdot d r, onde C=C1 cup(-C2), sendo -C2 o segmento C2 percorrido no sentido oposto.
(d) Para a região limitada D subset R^2 tal que partial D=C, verifique a igualdade abaixo:
integral duplaD(partialpartial x[x2]-partialpartial y[-y2]) d A=ointC G cdot d r
a. alpha(t) = (cos(t), sen(t), 1), t pertence a [0, 2*pi[
b. alpha(t) = (t, t, 1 - 2 * t^2), t pertence a R
c. alpha(t)=(t^2, t, 1-t^2-t^4), t pertence a R
d. α(t) = (sen(t), cos(t), 0), t ∈ [0, 2π[