Determine as derivodos parciais indicodos: f(x, y) = y^4 - 2 x^2 y^3 ; fx(1, 1) e f_y(0,1)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A questão nos apresenta a função e nos pede para encontrar as derivadas parciais dessa função em pontos específicos: e .
Aqui, estamos trabalhando com cálculo, mais especificamente com derivadas parciais. Derivadas parciais são usadas quando temos funções de mais de uma variável e queremos ver como a função muda em relação a uma dessas variáveis, mantendo as outras constantes. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais em geral e depois aplicá-las nos pontos indicados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é chamada de . Para isso, tratamos como uma constante e derivamos em relação a .
A função é:
Derivando em relação a :
A derivada de em relação a é zero, porque é tratado como uma constante. Já a derivada de em relação a é:
Então:

Passo 3

Agora que temos a expressão para , vamos substituir os valores e para encontrar .
Substituindo na expressão:
Então, .

Passo 4

Agora vamos calcular a derivada parcial de em relação a , chamada de . Desta vez, tratamos como constante e derivamos em relação a .
A função é:
Derivando em relação a :
A derivada de em relação a é:
E a derivada de em relação a é:
Então:

Passo 5

Agora que temos a expressão para , vamos substituir os valores e para encontrar .
Substituindo na expressão:
Então, .

Resposta

As derivadas parciais solicitadas são:

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