Determine as derivodos parciais indicodos:
e
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A questão nos apresenta a função
e nos pede para encontrar as derivadas parciais dessa função em pontos específicos:
e
.
Aqui, estamos trabalhando com cálculo, mais especificamente com derivadas parciais. Derivadas parciais são usadas quando temos funções de mais de uma variável e queremos ver como a função muda em relação a uma dessas variáveis, mantendo as outras constantes. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais em geral e depois aplicá-las nos pontos indicados.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é chamada de
. Para isso, tratamos
como uma constante e derivamos
em relação a
.
A função é:
Derivando em relação a
:
A derivada de
em relação a
é zero, porque
é tratado como uma constante. Já a derivada de
em relação a
é:
Então:
Passo 3
Agora que temos a expressão para
, vamos substituir os valores
e
para encontrar
.
Substituindo na expressão:
Então,
.
Passo 4
Agora vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, chamada de
. Desta vez, tratamos
como constante e derivamos
em relação a
.
A função é:
Derivando em relação a
:
A derivada de
em relação a
é:
E a derivada de
em relação a
é:
Então:
Passo 5
Agora que temos a expressão para
, vamos substituir os valores
e
para encontrar
.
Substituindo na expressão:
Então,
.
Resposta
As derivadas parciais solicitadas são:
Exercícios relacionados
Determine se a sequência
converge. Se sim, encontre o limite.
Determine as derivodes parciais de primeina ordem da funcãa:
(a) Calcule
, onde
é o semi-círculo
(percorrido no sentido anti-horário).
(b) Calcule , onde
é o segmento de reta que liga
e
(percorrido nessa direção).
© Calcule , onde
, sendo
o segmento
percorrido no sentido oposto.
(d) Para a região limitada tal que
, verifique a igualdade abaixo:
(b) Calcule
© Calcule
(d) Para a região limitada
a.
b.
c.
d.
b.
c.
d.