(a) Calcule
, onde
é a elipse
(percorrida no sentido antihorário).
(b) Verifique a igualdade abaixo:
onde
é a região limitada tal que
.
(b) Verifique a igualdade abaixo:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. No item (a), precisamos calcular a integral de linha ∮₍C₎ G · dr, onde C é uma elipse dada pela equação
, percorrida no sentido anti-horário. O conteúdo envolvido aqui é o de integrais de linha e campos vetoriais. Para resolver, vamos precisar das componentes do vetor G e aplicar a definição de integral de linha.
Passo 2
Primeiro, identificamos o vetor G. No item (b), é sugerida a igualdade que se assemelha ao teorema de Green. Observando a expressão dentro da integral dupla, vemos que:
Isso indica que G é dado por:
Então, temos G =
.
Passo 3
Agora, aplicamos a definição da integral de linha. A integral ∮₍C₎ G · dr pode ser escrita como:
Para parametrizar a elipse, usamos coordenadas paramétricas. Uma forma comum de parametrizar uma elipse é:
onde
varia de 0 a
.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
e
em relação a
:
Substituímos
,
,
e
na integral:
Simplificando:
Passo 5
Observamos que os dois termos na integral são iguais:
Então, a integral fica:
Passo 6
Integramos
em relação a
:
Sabemos que:
Avaliado de 0 a
:
Passo 7
Portanto, a integral completa é:
Resposta
A integral de linha ∮₍C₎ G · dr é igual a 0.
Exercícios relacionados
a.
b.
c.
d.
b.
c.
d.
(a) Calcule
, onde
é o semi-círculo
(percorrido no sentido anti-horário).
(b) Calcule , onde
é o segmento de reta que liga
e
(percorrido nessa direção).
© Calcule , onde
, sendo
o segmento
percorrido no sentido oposto.
(d) Para a região limitada tal que
, verifique a igualdade abaixo:
(b) Calcule
© Calcule
(d) Para a região limitada
Determine as derivodes parciais de primeina ordem da funcãa:
Consideremos o campo vetorial
(definido para
.
(a) Mostre que , onde
é a circunferência centrada na origem e de raio
.
(b) Conclua que o campo não é conservativo! (Sugestão: Prove por absurdo!)
(a) Mostre que
(b) Conclua que o campo