(a) Calcule ointC G cdot d r, onde C é a elipse x^2a^2+y^2b^2=1 (percorrida no sentido antihorário).
(b) Verifique a igualdade abaixo:
integral duplaD(partialpartial x[x2]-partialpartial y[-y2]) d A=ointC G cdot d r
onde D subset R^2 é a região limitada tal que partial D=C.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. No item (a), precisamos calcular a integral de linha ∮₍C₎ G · dr, onde C é uma elipse dada pela equação , percorrida no sentido anti-horário. O conteúdo envolvido aqui é o de integrais de linha e campos vetoriais. Para resolver, vamos precisar das componentes do vetor G e aplicar a definição de integral de linha.

Passo 2

Primeiro, identificamos o vetor G. No item (b), é sugerida a igualdade que se assemelha ao teorema de Green. Observando a expressão dentro da integral dupla, vemos que:
partialpartial x[x2] - partialpartial y[-y2] = 12 - (12) = 1
Isso indica que G é dado por:
G = (x2, -y2)
Então, temos G = .

Passo 3

Agora, aplicamos a definição da integral de linha. A integral ∮₍C₎ G · dr pode ser escrita como:
ointC x2 dx + (-y2) dy
Para parametrizar a elipse, usamos coordenadas paramétricas. Uma forma comum de parametrizar uma elipse é:
x = a cos theta y = b sin theta
onde varia de 0 a .

Passo 4

Calculamos as derivadas de dx = -a sin theta , dtheta dy = b cos theta , dtheta e ointC a cos theta2 (-a sin theta , dtheta) + (-b sin theta2) (b cos theta , dtheta) em relação a integral0^2pi (-a^22 cos theta sin theta - b^22 sin theta cos theta) dtheta :
Substituímos , , e na integral:
Simplificando:

Passo 5

Observamos que os dois termos na integral são iguais:
-a^2 + b^22 cos theta sin theta
Então, a integral fica:
-a^2 + b^22 integral0^2pi cos theta sin theta , dtheta

Passo 6

Integramos integral cos theta sin theta , dtheta = 12 sin^2 theta + C em relação a 12 sin^2(2pi) - 12 sin^2(0) = 0 - 0 = 0 :
Sabemos que:
Avaliado de 0 a :

Passo 7

Portanto, a integral completa é:
-a^2 + b^22 times 0 = 0

Resposta

A integral de linha ∮₍C₎ G · dr é igual a 0.

Exercícios relacionados

a. alpha(t) = (cos(t), sen(t), 1), t pertence a [0, 2*pi[
b. alpha(t) = (t, t, 1 - 2 * t^2), t pertence a R
c. alpha(t)=(t^2, t, 1-t^2-t^4), t pertence a R
d. α(t) = (sen(t), cos(t), 0), t ∈ [0, 2π[
(a) Calcule integralC1 G cdot d r, onde C1 é o semi-círculo x^2+y^2=4, y >= 0 (percorrido no sentido anti-horário).
(b) Calcule integralC2 G cdot d r, onde C2 é o segmento de reta que liga (2,0) e (-2,0) (percorrido nessa direção).
© Calcule ointC G cdot d r, onde C=C1 cup(-C2), sendo -C2 o segmento C2 percorrido no sentido oposto.
(d) Para a região limitada D subset R^2 tal que partial D=C, verifique a igualdade abaixo:
integral duplaD(partialpartial x[x2]-partialpartial y[-y2]) d A=ointC G cdot d r
Determine as derivodes parciais de primeina ordem da funcãa: f(x, y) = x^4 * y^3 + 4 * x^2 * y
Consideremos o campo vetorial H(x, y)=-yx^2+y^2 i+xx^2+y^2 j (definido para (x, y) in R^2 backslash(0,0)).
(a) Mostre que ointC H cdot d r=2 pi, onde C é a circunferência centrada na origem e de raio a.
(b) Conclua que o campo H não é conservativo! (Sugestão: Prove por absurdo!)