(a) Calcule ointC G cdot d r, onde C é a elipse x^2a^2+y^2b^2=1 (percorrida no sentido antihorário).
(b) Verifique a igualdade abaixo:
integral duplaD(partialpartial x[x2]-partialpartial y[-y2]) d A=ointC G cdot d r
onde D subset R^2 é a região limitada tal que partial D=C.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. No item (a), precisamos calcular a integral de linha ∮₍C₎ G · dr, onde C é uma elipse dada pela equação , percorrida no sentido anti-horário. O conteúdo envolvido aqui é o de integrais de linha e campos vetoriais. Para resolver, vamos precisar das componentes do vetor G e aplicar a definição de integral de linha.

Passo 2

Primeiro, identificamos o vetor G. No item (b), é sugerida a igualdade que se assemelha ao teorema de Green. Observando a expressão dentro da integral dupla, vemos que:
partialpartial x[x2] - partialpartial y[-y2] = 12 - (12) = 1
Isso indica que G é dado por:
G = (x2, -y2)
Então, temos G = .

Passo 3

Agora, aplicamos a definição da integral de linha. A integral ∮₍C₎ G · dr pode ser escrita como:
ointC x2 dx + (-y2) dy
Para parametrizar a elipse, usamos coordenadas paramétricas. Uma forma comum de parametrizar uma elipse é:
x = a cos theta y = b sin theta
onde varia de 0 a .

Passo 4

Calculamos as derivadas de dx = -a sin theta , dtheta dy = b cos theta , dtheta e ointC a cos theta2 (-a sin theta , dtheta) + (-b sin theta2) (b cos theta , dtheta) em relação a integral0^2pi (-a^22 cos theta sin theta - b^22 sin theta cos theta) dtheta :
Substituímos , , e na integral:
Simplificando:

Passo 5

Observamos que os dois termos na integral são iguais:
-a^2 + b^22 cos theta sin theta
Então, a integral fica:
-a^2 + b^22 integral0^2pi cos theta sin theta , dtheta

Passo 6

Integramos integral cos theta sin theta , dtheta = 12 sin^2 theta + C em relação a 12 sin^2(2pi) - 12 sin^2(0) = 0 - 0 = 0 :
Sabemos que:
Avaliado de 0 a :

Passo 7

Portanto, a integral completa é:
-a^2 + b^22 times 0 = 0

Resposta

A integral de linha ∮₍C₎ G · dr é igual a 0.

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