Determine as derivodes parciais de primeina ordem da funcãa: f(x, y) = x^4 * y^3 + 4 * x^2 * y

Passo 1

Neste exercício, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Estamos trabalhando com cálculo diferencial, mais especificamente com derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar derivar a função em relação a mantendo constante e, depois, em relação a mantendo constante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é denotada por . Isso significa que tratamos como uma constante e derivamos apenas em relação a .

Passo 3

Derivando em relação a :
  • Para o termo , a derivada em relação a é .
  • Para o termo , a derivada em relação a é .
Somando esses resultados, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por . Aqui, tratamos como uma constante e derivamos apenas em relação a .

Passo 5

Derivando em relação a :
  • Para o termo , a derivada em relação a é .
  • Para o termo , a derivada em relação a é .
Somando esses resultados, temos:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

Exercícios relacionados

(a) Calcule ointC G cdot d r, onde C é a elipse x^2a^2+y^2b^2=1 (percorrida no sentido antihorário).
(b) Verifique a igualdade abaixo:
integral duplaD(partialpartial x[x2]-partialpartial y[-y2]) d A=ointC G cdot d r
onde D subset R^2 é a região limitada tal que partial D=C.
a. alpha(t) = (cos(t), sen(t), 1), t pertence a [0, 2*pi[
b. alpha(t) = (t, t, 1 - 2 * t^2), t pertence a R
c. alpha(t)=(t^2, t, 1-t^2-t^4), t pertence a R
d. α(t) = (sen(t), cos(t), 0), t ∈ [0, 2π[
Consideremos o campo vetorial H(x, y)=-yx^2+y^2 i+xx^2+y^2 j (definido para (x, y) in R^2 backslash(0,0)).
(a) Mostre que ointC H cdot d r=2 pi, onde C é a circunferência centrada na origem e de raio a.
(b) Conclua que o campo H não é conservativo! (Sugestão: Prove por absurdo!)
Suponhamos que uma experiência determine que a quantidade de trabalho necessária para um campo de força F mover uma partícula:
(a) do ponto 1,2 para o ponto (5,-3) ao longo de uma curva C1 é de 1,2 J;
(b) do ponto 1,2 para o ponto (5,-3) ao longo de uma curva C2 é de 1,4 J.
O que você dizer sobre F ? Por quê?