(a) Calcule integralC1 G cdot d r, onde C1 é o semi-círculo x^2+y^2=4, y >= 0 (percorrido no sentido anti-horário).
(b) Calcule integralC2 G cdot d r, onde C2 é o segmento de reta que liga (2,0) e (-2,0) (percorrido nessa direção).
© Calcule ointC G cdot d r, onde C=C1 cup(-C2), sendo -C2 o segmento C2 percorrido no sentido oposto.
(d) Para a região limitada D subset R^2 tal que partial D=C, verifique a igualdade abaixo:
integral duplaD(partialpartial x[x2]-partialpartial y[-y2]) d A=ointC G cdot d r

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que calcular integrais de linha para um campo vetorial . As curvas envolvidas são um semicírculo , um segmento de reta , e uma combinação delas formando . Além disso, precisamos verificar uma igualdade usando o Teorema de Green para a região limitada por . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar curvas, calcular integrais de linha e aplicar o Teorema de Green.

Passo 2

Parte (a): Calcular x = 2 cos theta y = 2 sin theta theta in [0, pi]
Primeiro, vamos parametrizar o semicírculo d r = ( dxdtheta, dydtheta ) dtheta = (-2 sin theta, 2 cos theta) dtheta . Como é o semicírculo de raio 2 no sentido anti-horário, podemos usar:
G cdot d r = x2 cdot (-2 sin theta) + ( -y2 ) cdot (2 cos theta) = -x sin theta - y cos theta
Agora, o vetor diferencial -2 cos theta sin theta - 2 sin theta cos theta = -4 cos theta sin theta é dado por:
integral0^pi -4 cos theta sin theta dtheta = -2 integral0^pi sin(2theta) dtheta = -2 [ -cos(2theta)2 ]0^pi = -2 ( cos(2pi) - cos(0)2 ) = -2 (0) = 0
Assumindo que o campo vetorial está definido como , então:
Substituindo e :
Integrando de a :

Passo 3

Parte (b): Calcular x = 2 - 4t y = 0 t in [0, 1]
Agora, vamos calcular a integral sobre o segmento de reta d r = ( dxdt, dydt ) dt = (-4, 0) dt que vai de G = ( x2, -y2 ) = ( 2 - 4t2, 0 ) = (1 - 2t, 0) a G cdot d r = (1 - 2t)(-4) + 0 cdot 0 = -4 + 8t . Parametrizamos a reta como:
integral0^1 (-4 + 8t) dt = [ -4t + 4t^2 ]0^1 = (-4 + 4) - (0) = 0
Então, o vetor diferencial é:
Substituindo no campo :
Calculando o produto escalar:
Integrando de a :

Passo 4

Parte ©: Calcular ointC G cdot d r = integralC1 G cdot d r + integral-C2 G cdot d r = 0 + 0 = 0
Aqui, é a junção de e . Já calculamos as integrais sobre e e ambas deram zero. Portanto:

Passo 5

Parte (d): Verificar a igualdade usando o Teorema de Green
O Teorema de Green relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada ointC G cdot d r = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA com a integral dupla sobre a região partial Qpartial x = 0 partial Ppartial y = 0 que integral duplaD ( 0 - 0 ) dA = 0 delimita. A forma geral é:
Para nosso campo , temos e . Calculando as derivadas:
Então:
E já vimos que , então a igualdade está verificada.

Resposta

(a)
(b)
©
(d) A igualdade é verificada:

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Determine se a sequência a_n = (n^3 + 2n + 1) / (n^3 + n^2 + n + 1) converge. Se sim, encontre o limite.
a. alpha(t) = (cos(t), sen(t), 1), t pertence a [0, 2*pi[
b. alpha(t) = (t, t, 1 - 2 * t^2), t pertence a R
c. alpha(t)=(t^2, t, 1-t^2-t^4), t pertence a R
d. α(t) = (sen(t), cos(t), 0), t ∈ [0, 2π[
(a) Calcule ointC G cdot d r, onde C é a elipse x^2a^2+y^2b^2=1 (percorrida no sentido antihorário).
(b) Verifique a igualdade abaixo:
integral duplaD(partialpartial x[x2]-partialpartial y[-y2]) d A=ointC G cdot d r
onde D subset R^2 é a região limitada tal que partial D=C.