(a) Calcule
, onde
é o semi-círculo
(percorrido no sentido anti-horário).
(b) Calcule
, onde
é o segmento de reta que liga
e
(percorrido nessa direção).
© Calcule
, onde
, sendo
o segmento
percorrido no sentido oposto.
(d) Para a região limitada
tal que
, verifique a igualdade abaixo:
(b) Calcule
© Calcule
(d) Para a região limitada
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que calcular integrais de linha para um campo vetorial
. As curvas envolvidas são um semicírculo
, um segmento de reta
, e uma combinação delas formando
. Além disso, precisamos verificar uma igualdade usando o Teorema de Green para a região limitada por
. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar curvas, calcular integrais de linha e aplicar o Teorema de Green.
Passo 2
Parte (a): Calcular
Primeiro, vamos parametrizar o semicírculo
. Como é o semicírculo de raio 2 no sentido anti-horário, podemos usar:
Agora, o vetor diferencial
é dado por:
Assumindo que o campo vetorial
está definido como
, então:
Substituindo
e
:
Integrando de
a
:
Passo 3
Parte (b): Calcular
Agora, vamos calcular a integral sobre o segmento de reta
que vai de
a
. Parametrizamos a reta como:
Então, o vetor diferencial
é:
Substituindo no campo
:
Calculando o produto escalar:
Integrando de
a
:
Passo 4
Parte ©: Calcular
Aqui,
é a junção de
e
. Já calculamos as integrais sobre
e
e ambas deram zero. Portanto:
Passo 5
Parte (d): Verificar a igualdade usando o Teorema de Green
O Teorema de Green relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada
com a integral dupla sobre a região
que
delimita. A forma geral é:
Para nosso campo
, temos
e
. Calculando as derivadas:
Então:
E já vimos que
, então a igualdade está verificada.
Resposta
(a)
(b)
©
(d) A igualdade é verificada:
Exercícios relacionados
Determine as derivodos parciais indicodos:
e
Determine se a sequência
converge. Se sim, encontre o limite.
a.
b.
c.
d.
b.
c.
d.
(a) Calcule
, onde
é a elipse
(percorrida no sentido antihorário).
(b) Verifique a igualdade abaixo:
(b) Verifique a igualdade abaixo:
onde
é a região limitada tal que
.