Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
y' = x + y, y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo com a condição inicial y(0) = 1. Aqui, vamos trabalhar com equações diferenciais de primeira ordem e usar o método do fator integrante para encontrar a solução. Vamos precisar entender como aplicar esse método passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão das equações lineares de primeira ordem, que é . A nossa equação é , então podemos reescrever como:
Aqui, identificamos e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante ( mu(x)) é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante para tornar o lado esquerdo da equação uma derivada de um produto. Então:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a x para encontrar y. Integramos:
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente . Do lado direito, precisamos calcular .

Passo 6

Para resolver a integral , usamos o método de integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes ( ):
Então, a integral fica:

Passo 7

Voltando à nossa equação integrada:
Agora, vamos resolver para y multiplicando ambos os lados por e^x:

Passo 8

Finalmente, aplicamos a condição inicial y(0) = 1 para encontrar a constante C:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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