Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo
com a condição inicial
. Aqui, vamos trabalhar com equações diferenciais de primeira ordem e usar o método do fator integrante para encontrar a solução. Vamos precisar entender como aplicar esse método passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão das equações lineares de primeira ordem, que é
. A nossa equação é
, então podemos reescrever como:
Aqui, identificamos
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante (
) é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante para tornar o lado esquerdo da equação uma derivada de um produto. Então:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
para encontrar
. Integramos:
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente
. Do lado direito, precisamos calcular
.
Passo 6
Para resolver a integral
, usamos o método de integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes (
):
Então, a integral fica:
Passo 7
Voltando à nossa equação integrada:
Agora, vamos resolver para
multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Finalmente, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Se
for a medida em radianos do ângulo entre
e
, ache
.