Resolva os seguintes problemas de valor inicial:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo com a condição inicial . Aqui, vamos trabalhar com equações diferenciais de primeira ordem e usar o método do fator integrante para encontrar a solução. Vamos precisar entender como aplicar esse método passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão das equações lineares de primeira ordem, que é . A nossa equação é , então podemos reescrever como:
Aqui, identificamos e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante ( ) é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante para tornar o lado esquerdo da equação uma derivada de um produto. Então:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a para encontrar . Integramos:
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente . Do lado direito, precisamos calcular .

Passo 6

Para resolver a integral , usamos o método de integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes ( ):
Então, a integral fica:

Passo 7

Voltando à nossa equação integrada:
Agora, vamos resolver para multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Finalmente, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Se for a medida em radianos do ângulo entre e , ache .