onde os coeficientes estão todos com unidades compatíveis com radianos e segundos. Em t= 0 , o pião tem velocidade
e
rad. a) determine a expressão para
do pião. b) determine a expressão para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cinemática rotacional juntos! A gente tem a expressão da aceleração angular do pião:
E também sabemos que, no instante inicial
, a velocidade angular
e o ângulo
. Nosso objetivo é encontrar as expressões para a velocidade angular
e para o ângulo
em função do tempo. Para isso, vamos precisar usar integrações, já que a aceleração é a derivada da velocidade e a velocidade é a derivada do ângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a expressão para a velocidade angular
. Sabemos que a aceleração angular é a derivada da velocidade:
Para achar
, vamos integrar
em relação ao tempo:
Onde
é a constante de integração. Vamos substituir
:
Integrando termo a termo:
Agora, usamos a condição inicial
para achar
:
Então, a expressão para
fica:
Passo 3
Agora, vamos determinar a expressão para o ângulo
. Sabemos que a velocidade angular é a derivada do ângulo:
Para achar
, vamos integrar
em relação ao tempo:
Onde
é outra constante de integração. Substituindo
:
Integrando termo a termo:
Usando a condição inicial
:
Portanto, a expressão para
é:
Resposta
a) A expressão para a velocidade angular é:
b) A expressão para o ângulo é: