alpha=5 t^3-4 t
onde os coeficientes estão todos com unidades compatíveis com radianos e segundos. Em t= 0 , o pião tem velocidade omega(t)=5 rad / s e theta=2 rad. a) determine a expressão para omega(t) do pião. b) determine a expressão para theta(t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cinemática rotacional juntos! A gente tem a expressão da aceleração angular do pião:
alpha(t) = 5 t^3 - 4 t
E também sabemos que, no instante inicial , a velocidade angular e o ângulo . Nosso objetivo é encontrar as expressões para a velocidade angular e para o ângulo em função do tempo. Para isso, vamos precisar usar integrações, já que a aceleração é a derivada da velocidade e a velocidade é a derivada do ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a expressão para a velocidade angular alpha(t) = domega(t)dt . Sabemos que a aceleração angular é a derivada da velocidade:
omega(t) = integral alpha(t) , dt + C
Para achar omega(t) = integral (5 t^3 - 4 t) , dt + C , vamos integrar omega(t) = 54 t^4 - 2 t^2 + C em relação ao tempo:
5 = 54 cdot 0^4 - 2 cdot 0^2 + C Rightarrow C = 5
Onde omega(t) = 54 t^4 - 2 t^2 + 5 é a constante de integração. Vamos substituir :
Integrando termo a termo:
Agora, usamos a condição inicial para achar :
Então, a expressão para fica:

Passo 3

Agora, vamos determinar a expressão para o ângulo omega(t) = dtheta(t)dt . Sabemos que a velocidade angular é a derivada do ângulo:
theta(t) = integral omega(t) , dt + D
Para achar theta(t) = integral ( 54 t^4 - 2 t^2 + 5 ) , dt + D , vamos integrar theta(t) = 520 t^5 - 23 t^3 + 5 t + D theta(t) = 14 t^5 - 23 t^3 + 5 t + D em relação ao tempo:
2 = 14 cdot 0^5 - 23 cdot 0^3 + 5 cdot 0 + D Rightarrow D = 2
Onde theta(t) = 14 t^5 - 23 t^3 + 5 t + 2 é outra constante de integração. Substituindo :
Integrando termo a termo:
Usando a condição inicial :
Portanto, a expressão para é:

Resposta

a) A expressão para a velocidade angular é:
omega(t) = 54 t^4 - 2 t^2 + 5
b) A expressão para o ângulo é:
theta(t) = 14 t^5 - 23 t^3 + 5 t + 2

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