Uma haste com comprimento oscila como um pendulo físico, com eixo no ponto O. Mostre que, se e g , este mínimo é .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma haste com comprimento que está oscilando como um pêndulo físico, com o eixo de rotação no ponto . O objetivo aqui é mostrar que, com a aceleração da gravidade ², o período mínimo dessa oscilação é de . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre pêndulos físicos e como calcular o período deles usando o momento de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que um pêndulo físico é qualquer objeto rígido que oscila em torno de um ponto fixo. Diferente do pêndulo simples, que é uma massa pontual, o pêndulo físico tem distribuição de massa, o que significa que temos que considerar o momento de inércia ( ) para calcular o período da oscilação.

Passo 3

O momento de inércia é uma medida de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Para uma haste fina de comprimento girando em torno de uma das extremidades, a fórmula do momento de inércia é:
²
onde é a massa da haste. Mas, como vamos ver, a massa vai se cancelar nas equações seguintes, então nem precisamos saber o valor exato dela.

Passo 4

O período ( ) de um pêndulo físico é dado pela fórmula:
onde:
  • é o momento de inércia,
  • é a massa,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a distância entre o ponto de rotação e o centro de massa.

Passo 5

Para uma haste uniforme, o centro de massa está no meio dela, então:
Substituindo e na fórmula do período:
²

Passo 6

Perceba que a massa aparece no numerador e no denominador e, portanto, se cancela:
²

Passo 7

Agora, é só substituir os valores conhecidos:
²

Passo 8

Calculando dentro da raiz:
Então:

Resposta

Após os cálculos, verificamos que o período mínimo da oscilação é aproximadamente , confirmando o que foi pedido.

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