Uma haste com comprimento oscila como um pendulo físico, com eixo no ponto O. Mostre que, se e g , este mínimo é .
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma haste com comprimento que está oscilando como um pêndulo físico, com o eixo de rotação no ponto . O objetivo aqui é mostrar que, com a aceleração da gravidade , o período mínimo dessa oscilação é de . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre pêndulos físicos e como calcular o período deles usando o momento de inércia.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que um pêndulo físico é qualquer objeto rígido que oscila em torno de um ponto fixo. Diferente do pêndulo simples, que é uma massa pontual, o pêndulo físico tem distribuição de massa, o que significa que temos que considerar o momento de inércia () para calcular o período da oscilação.
Passo 3
O momento de inércia é uma medida de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Para uma haste fina de comprimento girando em torno de uma das extremidades, a fórmula do momento de inércia é:
onde é a massa da haste. Mas, como vamos ver, a massa vai se cancelar nas equações seguintes, então nem precisamos saber o valor exato dela.
Passo 4
O período () de um pêndulo físico é dado pela fórmula:
onde:
é o momento de inércia,
é a massa,
é a aceleração da gravidade,
é a distância entre o ponto de rotação e o centro de massa.
Passo 5
Para uma haste uniforme, o centro de massa está no meio dela, então:
Substituindo e na fórmula do período:
Passo 6
Perceba que a massa aparece no numerador e no denominador e, portanto, se cancela:
²
Passo 7
Agora, é só substituir os valores conhecidos:
²
Passo 8
Calculando dentro da raiz:
Então:
Resposta
Após os cálculos, verificamos que o período mínimo da oscilação é aproximadamente , confirmando o que foi pedido.