theta=t^3-27 t+4
onde t é dado em segundo e theta em radianos. a) calcule omega(t) e alpha(t). b) teremos em algum momento omega(t)=0 ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. Temos a função que descreve a posição angular theta(t) = t^3 - 27t + 4, onde t está em segundos e theta em radianos. A gente vai trabalhar com cinemática rotacional, e para resolver essa questão, vamos precisar calcular a velocidade angular omega(t) e a aceleração angular alpha(t). Além disso, vamos verificar se existe algum instante em que a velocidade angular é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade angular omega(t). A velocidade angular é a derivada da posição angular em relação ao tempo. Ou seja:
omega(t) = dthetadt
Vamos derivar theta(t) = t^3 - 27t + 4 em relação a t:
omega(t) = ddt(t^3) - ddt(27t) + ddt(4)
Calculando cada derivada:
ddt(t^3) = 3t^2
ddt(27t) = 27
ddt(4) = 0
Então, juntando tudo:
omega(t) = 3t^2 - 27

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração angular alpha(t). A aceleração angular é a derivada da velocidade angular em relação ao tempo, ou seja:
alpha(t) = domegadt
Sabemos que omega(t) = 3t^2 - 27, então vamos derivar isso:
alpha(t) = ddt(3t^2) - ddt(27)
Calculando cada derivada:
ddt(3t^2) = 6t
ddt(27) = 0
Portanto:
alpha(t) = 6t

Passo 4

Agora que temos omega(t) = 3t^2 - 27 e alpha(t) = 6t, vamos responder a parte (b) da questão: existe algum momento em que omega(t) = 0?
Para encontrar quando a velocidade angular é zero, resolvemos a equação:
3t^2 - 27 = 0
Vamos simplificar dividindo ambos os lados por 3:
t^2 - 9 = 0
Agora, resolvemos para t:
t^2 = 9
t = raiz9 ou t = -raiz9
Como tempo não pode ser negativo, descartamos t = -3 e temos:
t = 3 , segundos

Resposta

a) A velocidade angular é omega(t) = 3t^2 - 27 e a aceleração angular é alpha(t) = 6t.
b) Sim, quando t = 3 segundos, omega(t) = 0.

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