Se
, então
? E se
?
Passo 1
Então, vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos uma equação vetorial onde
. A pergunta é: será que isso implica que
é igual a
? E também, o que acontece se o vetor
não for o vetor nulo, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores e como eles se comportam quando são multiplicados por escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um vetor multiplicado por um escalar (número) apenas muda o tamanho (magnitude) e possivelmente a direção do vetor, mas não a estrutura do vetor em si. A equação
nos diz que, ao multiplicarmos o vetor
por
e o vetor
por
, eles resultam no mesmo vetor.
Passo 3
Para descobrir se
, vamos analisar a equação
. Se rearranjarmos essa equação, podemos escrever
, onde
é o vetor nulo.
Passo 4
Agora, vamos pensar no que significa essa equação. Se a combinação linear
resulta no vetor nulo, isso implica que os vetores
e
estão na mesma direção ou são múltiplos um do outro. Em outras palavras,
e
são vetores colineares.
Passo 5
Se os vetores
e
forem colineares, então existe um escalar
tal que
ou
. Substituindo isso na equação original
, podemos substituir
por
:
, o que simplifica para
.
Passo 6
Agora, como
(o vetor não é nulo), podemos dividir ambos os lados da equação por
, resultando em
. Se
, então podemos escrever
. Isso mostra que
e
estão relacionados pelo fator
.
Resposta
Portanto,
somente se
e
forem vetores iguais (ou seja,
). Caso contrário, se
e
for um múltiplo diferente de
, então
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
bases de
e
, respectivamente,
e
. Mostre que
.
(i) Sejam U e V espaços vetoriais sobre
. Sejam B e
bases de
e V respectivamente. Se
é um isomorfismo, então
é invertível? Existe
? Justifique.
© Demonstre que
é invertível e dê uma regra para
como a que define
.
Suponha que
e
são espaços vetoriais com a mesma dimensão e
é um norfismo. Mostre que
tem inversa e é dada por
, onde
é uma base para
e
ima base para
.