Se alpha U=beta V, então alpha=beta ? E se V neq 0 ?

Passo 1

Então, vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos uma equação vetorial onde alpha U = beta V. A pergunta é: será que isso implica que alpha é igual a beta? E também, o que acontece se o vetor V não for o vetor nulo, ou seja, V neq 0. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores e como eles se comportam quando são multiplicados por escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um vetor multiplicado por um escalar (número) apenas muda o tamanho (magnitude) e possivelmente a direção do vetor, mas não a estrutura do vetor em si. A equação alpha U = beta V nos diz que, ao multiplicarmos o vetor U por alpha e o vetor V por beta, eles resultam no mesmo vetor.

Passo 3

Para descobrir se alpha = beta, vamos analisar a equação alpha U = beta V. Se rearranjarmos essa equação, podemos escrever alpha U - beta V = 0, onde 0 é o vetor nulo.

Passo 4

Agora, vamos pensar no que significa essa equação. Se a combinação linear alpha U - beta V resulta no vetor nulo, isso implica que os vetores U e V estão na mesma direção ou são múltiplos um do outro. Em outras palavras, U e V são vetores colineares.

Passo 5

Se os vetores U e V forem colineares, então existe um escalar k tal que U = kV ou V = kU. Substituindo isso na equação original alpha U = beta V, podemos substituir U por kV: alpha (kV) = beta V, o que simplifica para (alpha k) V = beta V.

Passo 6

Agora, como V neq 0 (o vetor não é nulo), podemos dividir ambos os lados da equação por V, resultando em alpha k = beta. Se k neq 0, então podemos escrever alpha = betak. Isso mostra que alpha e beta estão relacionados pelo fator k.

Resposta

Portanto, alpha = beta somente se U e V forem vetores iguais (ou seja, k = 1). Caso contrário, se V neq 0 e U for um múltiplo diferente de V, então alpha neq beta.

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