Se , então ? E se ?

Passo 1

Então, vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos uma equação vetorial onde . A pergunta é: será que isso implica que é igual a ? E também, o que acontece se o vetor não for o vetor nulo, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores e como eles se comportam quando são multiplicados por escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um vetor multiplicado por um escalar (número) apenas muda o tamanho (magnitude) e possivelmente a direção do vetor, mas não a estrutura do vetor em si. A equação nos diz que, ao multiplicarmos o vetor por e o vetor por , eles resultam no mesmo vetor.

Passo 3

Para descobrir se , vamos analisar a equação . Se rearranjarmos essa equação, podemos escrever , onde é o vetor nulo.

Passo 4

Agora, vamos pensar no que significa essa equação. Se a combinação linear resulta no vetor nulo, isso implica que os vetores e estão na mesma direção ou são múltiplos um do outro. Em outras palavras, e são vetores colineares.

Passo 5

Se os vetores e forem colineares, então existe um escalar tal que ou . Substituindo isso na equação original , podemos substituir por : , o que simplifica para .

Passo 6

Agora, como (o vetor não é nulo), podemos dividir ambos os lados da equação por , resultando em . Se , então podemos escrever . Isso mostra que e estão relacionados pelo fator .

Resposta

Portanto, somente se e forem vetores iguais (ou seja, ). Caso contrário, se e for um múltiplo diferente de , então .

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