Suponha que e são espaços vetoriais com a mesma dimensão e é um norfismo. Mostre que tem inversa e é dada por , onde é uma base para e ima base para .

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício fala sobre espaços vetoriais e que têm a mesma dimensão. Temos uma transformação linear que vai de para . A gente precisa mostrar que a matriz de nas bases de e de , que escrevemos como , tem uma inversa. E mais, essa inversa é a matriz da transformação inversa nas bases de e de , ou seja, . Vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares, matrizes associadas a elas e invertibilidade de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que como é um norfismo (ou seja, um isomorfismo), ela é bijetora. Isso quer dizer que é injetora (cada elemento de vai para um único elemento em ) e sobrejetora (todo elemento de é imagem de algum elemento de ). Como é bijetora e e têm a mesma dimensão, sabemos que tem uma transformação inversa que vai de para .

Passo 3

Agora, vamos pensar nas matrizes dessas transformações. A matriz representa como atua nas bases e . Da mesma forma, representa como a inversa atua nas bases e . A gente quer mostrar que essas matrizes são inversas uma da outra.

Passo 4

Sabemos que uma matriz é invertível se existe outra matriz que, quando multiplicadas, dá a matriz identidade. Ou seja, queremos provar que:
e
onde é a matriz identidade.

Passo 5

Vamos usar o fato de que a composição de e dá a identidade tanto em quanto em . Ou seja, e . Quando representamos essas composições em matrizes, elas correspondem à multiplicação das matrizes e , resultando na matriz identidade.

Passo 6

Portanto, pelas propriedades das matrizes associadas a transformações lineares e pelo fato de ser um isomorfismo, concluímos que tem uma inversa, e essa inversa é exatamente .

Resposta

A matriz é invertível, e sua inversa é .

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