Suponha que
e
são espaços vetoriais com a mesma dimensão e
é um norfismo. Mostre que
tem inversa e é dada por
, onde
é uma base para
e
ima base para
.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício fala sobre espaços vetoriais
e
que têm a mesma dimensão. Temos uma transformação linear
que vai de
para
. A gente precisa mostrar que a matriz de
nas bases
de
e
de
, que escrevemos como
, tem uma inversa. E mais, essa inversa é a matriz da transformação inversa
nas bases
de
e
de
, ou seja,
. Vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares, matrizes associadas a elas e invertibilidade de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que como
é um norfismo (ou seja, um isomorfismo), ela é bijetora. Isso quer dizer que
é injetora (cada elemento de
vai para um único elemento em
) e sobrejetora (todo elemento de
é imagem de algum elemento de
). Como
é bijetora e
e
têm a mesma dimensão, sabemos que
tem uma transformação inversa
que vai de
para
.
Passo 3
Agora, vamos pensar nas matrizes dessas transformações. A matriz
representa como
atua nas bases
e
. Da mesma forma,
representa como a inversa
atua nas bases
e
. A gente quer mostrar que essas matrizes são inversas uma da outra.
Passo 4
Sabemos que uma matriz é invertível se existe outra matriz que, quando multiplicadas, dá a matriz identidade. Ou seja, queremos provar que:
e
onde
é a matriz identidade.
Passo 5
Vamos usar o fato de que a composição de
e
dá a identidade tanto em
quanto em
. Ou seja,
e
. Quando representamos essas composições em matrizes, elas correspondem à multiplicação das matrizes
e
, resultando na matriz identidade.
Passo 6
Portanto, pelas propriedades das matrizes associadas a transformações lineares e pelo fato de
ser um isomorfismo, concluímos que
tem uma inversa, e essa inversa é exatamente
.
Resposta
A matriz
é invertível, e sua inversa é
.
Exercícios relacionados
© Demonstre que
é invertível e dê uma regra para
como a que define
.
Se
, então
? E se
?
(d) Enuncie o Corolário do Teorema do Núcleo e da Imagem.
Sejam
e
bases de
. Determine
, onde є
é definido por
, para todo
.