Sejam B=u1, ldots, un, C=v1, ldots, vm e D=w1, ldots, wp bases de U, V e W, respectivamente, T in L(U, V) e S in L(V, W). Mostre que (S circ T)B, D=(S)C, D cdot(T)B, C.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três espaços vetoriais (S circ T)B,D = SC,D cdot TB,C , e , cada um com suas bases , e , respectivamente. Além disso, temos duas transformações lineares: de para e de para . O objetivo é mostrar que a matriz da composição com relação às bases e é igual ao produto das matrizes de com relação a e e de com relação a e . Ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar entender como representam as matrizes dessas transformações e como a composição de transformações afeta essas matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a matriz de uma transformação linear em relação a determinadas bases é formada pelas coordenadas das imagens dos vetores da base de origem na base de destino. Mais especificamente, para , a matriz é a matriz cuja coluna é a representação do vetor na base . Similarmente, para , a matriz tem como coluna a representação de na base .

Passo 3

Agora, vamos considerar a composição (S circ T)(u) = S(T(u)) . Essa composição é uma transformação linear de para , onde para qualquer vetor , temos:
Queremos encontrar a matriz dessa composição em relação às bases e , ou seja, .

Passo 4

Para encontrar (S circ T)(uj) = S(T(uj)) , vamos aplicar aos vetores da base e expressar o resultado na base . Ou seja, para cada :
Primeiro, calculamos , que está em , e depois aplicamos a esse resultado, obtendo um vetor em .

Passo 5

Sabemos que a matriz [T(uj)]C = TB,C cdot [uj]B transforma as coordenadas de [S(T(uj))]D = SC,D cdot [T(uj)]C = SC,D cdot TB,C cdot [uj]B na base para as coordenadas em na base . Da mesma forma, transforma as coordenadas em na base para as coordenadas em na base . Então, para cada vetor , temos:
E então:

Passo 6

Isso mostra que a ação de (S circ T)B,D = SC,D cdot TB,C em qualquer vetor da base pode ser representada pela multiplicação das matrizes e . Portanto, a matriz da composição em relação às bases e é dada por:

Resposta

A matriz da composição (S circ T)B,D = SC,D cdot TB,C nas bases e é igual ao produto das matrizes e . Ou seja:

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