Sejam
e
bases de
e
, respectivamente,
e
. Mostre que
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três espaços vetoriais
,
e
, cada um com suas bases
,
e
, respectivamente. Além disso, temos duas transformações lineares:
de
para
e
de
para
. O objetivo é mostrar que a matriz da composição
com relação às bases
e
é igual ao produto das matrizes de
com relação a
e
e de
com relação a
e
. Ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar entender como representam as matrizes dessas transformações e como a composição de transformações afeta essas matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a matriz de uma transformação linear em relação a determinadas bases é formada pelas coordenadas das imagens dos vetores da base de origem na base de destino. Mais especificamente, para
, a matriz
é a matriz cuja coluna
é a representação do vetor
na base
. Similarmente, para
, a matriz
tem como coluna
a representação de
na base
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a composição
. Essa composição é uma transformação linear de
para
, onde para qualquer vetor
, temos:
Queremos encontrar a matriz dessa composição em relação às bases
e
, ou seja,
.
Passo 4
Para encontrar
, vamos aplicar
aos vetores da base
e expressar o resultado na base
. Ou seja, para cada
:
Primeiro, calculamos
, que está em
, e depois aplicamos
a esse resultado, obtendo um vetor em
.
Passo 5
Sabemos que a matriz
transforma as coordenadas de
na base
para as coordenadas em
na base
. Da mesma forma,
transforma as coordenadas em
na base
para as coordenadas em
na base
. Então, para cada vetor
, temos:
E então:
Passo 6
Isso mostra que a ação de
em qualquer vetor
da base
pode ser representada pela multiplicação das matrizes
e
. Portanto, a matriz da composição
em relação às bases
e
é dada por:
Resposta
A matriz da composição
nas bases
e
é igual ao produto das matrizes
e
. Ou seja:
Exercícios relacionados
(i) Sejam U e V espaços vetoriais sobre
. Sejam B e
bases de
e V respectivamente. Se
é um isomorfismo, então
é invertível? Existe
? Justifique.
Determine a matriz
das transformações lineares dadas, em relação às bases correspondentes:
,
Se
, então
? E se
?
© Demonstre que
é invertível e dê uma regra para
como a que define
.