© Demonstre que F é invertível e dê uma regra para F^-1 como a que define F.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você pediu para demonstrar que uma função é invertível e também para definir a função inversa de uma maneira similar à definição de . Isso está no campo de álgebra linear ou teoria das funções, onde trabalhamos com funções que têm inversas. Vamos precisar entender o que significa uma função ser invertível e como encontrar sua inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser invertível. Uma função F^-1(F(x)) = x e F(F^-1(x)) = x é chamada de invertível se existe outra função tal que, quando você aplica e depois , você volta ao ponto de partida. Em termos matemáticos:
Isso significa que é uma bijeção, ou seja, é injetora (cada elemento do domínio é mapeado para um elemento único do contradomínio) e sobrente (todos os elementos do contradomínio são atingidos).

Passo 3

Para demonstrar que é invertível, precisamos mostrar que ela é injetora e sobrejetora.
  1. Injetora: Vamos supor que . Se conseguirmos mostrar que , então é injetora.
  2. Sobrejetora: Precisamos mostrar que para todo elemento no contradomínio, existe pelo menos um elemento no domínio tal que .

Passo 4

Depois de estabelecer que é invertível, queremos encontrar uma expressão para . A função inversa essencialmente “desfaz” o que fez. Se associa cada a um , então associa cada de volta a .

Passo 5

Vamos definir a regra para y = ax + b x = y - ba de forma semelhante à definição de F^-1(y) = y - ba . Se é uma função que, por exemplo, realiza uma transformação linear como , então a inversa seria resolvida para :
Assim, a regra para seria:

Resposta

Portanto, demonstramos que F^-1(y) = y - ba é invertível e a função inversa é definida por:

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