© Demonstre que
é invertível e dê uma regra para
como a que define
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você pediu para demonstrar que uma função
é invertível e também para definir a função inversa
de uma maneira similar à definição de
. Isso está no campo de álgebra linear ou teoria das funções, onde trabalhamos com funções que têm inversas. Vamos precisar entender o que significa uma função ser invertível e como encontrar sua inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser invertível. Uma função
é chamada de invertível se existe outra função
tal que, quando você aplica
e depois
, você volta ao ponto de partida. Em termos matemáticos:
Isso significa que
é uma bijeção, ou seja, é injetora (cada elemento do domínio é mapeado para um elemento único do contradomínio) e sobrente (todos os elementos do contradomínio são atingidos).
Passo 3
Para demonstrar que
é invertível, precisamos mostrar que ela é injetora e sobrejetora.
- Injetora: Vamos supor que
. Se conseguirmos mostrar que , então é injetora. - Sobrejetora: Precisamos mostrar que para todo elemento
no contradomínio, existe pelo menos um elemento no domínio tal que .
Passo 4
Depois de estabelecer que
é invertível, queremos encontrar uma expressão para
. A função inversa essencialmente “desfaz” o que
fez. Se
associa cada
a um
, então
associa cada
de volta a
.
Passo 5
Vamos definir a regra para
de forma semelhante à definição de
. Se
é uma função que, por exemplo, realiza uma transformação linear como
, então a inversa seria resolvida para
:
Assim, a regra para
seria:
Resposta
Portanto, demonstramos que
é invertível e a função inversa
é definida por:
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Se
, então
? E se
?
Sejam
e
bases de
e
, respectivamente,
e
. Mostre que
.
Suponha que
e
são espaços vetoriais com a mesma dimensão e
é um norfismo. Mostre que
tem inversa e é dada por
, onde
é uma base para
e
ima base para
.
(d) Enuncie o Corolário do Teorema do Núcleo e da Imagem.