© Demonstre que é invertível e dê uma regra para como a que define .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você pediu para demonstrar que uma função é invertível e também para definir a função inversa de uma maneira similar à definição de . Isso está no campo de álgebra linear ou teoria das funções, onde trabalhamos com funções que têm inversas. Vamos precisar entender o que significa uma função ser invertível e como encontrar sua inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser invertível. Uma função é chamada de invertível se existe outra função tal que, quando você aplica e depois , você volta ao ponto de partida. Em termos matemáticos:
Isso significa que é uma bijeção, ou seja, é injetora (cada elemento do domínio é mapeado para um elemento único do contradomínio) e sobrente (todos os elementos do contradomínio são atingidos).

Passo 3

Para demonstrar que é invertível, precisamos mostrar que ela é injetora e sobrejetora.
  1. Injetora: Vamos supor que . Se conseguirmos mostrar que , então é injetora.
  2. Sobrejetora: Precisamos mostrar que para todo elemento no contradomínio, existe pelo menos um elemento no domínio tal que .

Passo 4

Depois de estabelecer que é invertível, queremos encontrar uma expressão para . A função inversa essencialmente “desfaz” o que fez. Se associa cada a um , então associa cada de volta a .

Passo 5

Vamos definir a regra para de forma semelhante à definição de . Se é uma função que, por exemplo, realiza uma transformação linear como , então a inversa seria resolvida para :
Assim, a regra para seria:

Resposta

Portanto, demonstramos que é invertível e a função inversa é definida por:

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Se , então ? E se ?
Sejam e bases de e , respectivamente, e . Mostre que .
Suponha que e são espaços vetoriais com a mesma dimensão e é um norfismo. Mostre que tem inversa e é dada por , onde é uma base para e ima base para .
(d) Enuncie o Corolário do Teorema do Núcleo e da Imagem.