onde
é a constante de proporcionalidade cujo valor depende da mercadoria em estudo. Resolva a equação diferencial expressando a oferta e a demanda como funções lineares simples em relação ao preço:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial que relaciona a variação do preço
ao longo do tempo
. A gente também tem as funções de oferta
e demanda
expressas de forma linear em relação ao preço. Nosso objetivo é resolver essa equação diferencial para encontrar como o preço
muda com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação diferencial que temos:
Aqui,
é uma constante que depende da mercadoria em questão. As funções de oferta e demanda são dadas por:
Vamos substituir essas expressões na equação diferencial para simplificar.
Passo 3
Substituindo
e
na equação diferencial:
Vamos simplificar dentro dos parênteses:
Então, a equação fica:
Passo 4
Agora, vamos reescrever a equação para facilitar a resolução:
Isso pode ser rearranjado para:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem.
Passo 5
Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. Primeiro, identificamos a forma padrão:
onde
e
. O fator integrante
é dado por:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação ao tempo
:
Isso resulta em:
Simplificando:
Passo 8
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Onde
é a constante de integração que pode ser determinada se tivermos uma condição inicial.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante que pode ser encontrada com uma condição inicial específica.