dP/dt = k(D - S)
onde k é a constante de proporcionalidade cujo valor depende da mercadoria em estudo. Resolva a equação diferencial expressando a oferta e a demanda como funções lineares simples em relação ao preço:
S=a P-b, e D=e-f P

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial que relaciona a variação do preço P ao longo do tempo t. A gente também tem as funções de oferta S e demanda D expressas de forma linear em relação ao preço. Nosso objetivo é resolver essa equação diferencial para encontrar como o preço P muda com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação diferencial que temos:
Aqui, k é uma constante que depende da mercadoria em questão. As funções de oferta e demanda são dadas por:
Vamos substituir essas expressões na equação diferencial para simplificar.

Passo 3

Substituindo S e D na equação diferencial:
Vamos simplificar dentro dos parênteses:
Então, a equação fica:

Passo 4

Agora, vamos reescrever a equação para facilitar a resolução:
Isso pode ser rearranjado para:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem.

Passo 5

Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. Primeiro, identificamos a forma padrão:
onde e . O fator integrante é dado por:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação ao tempo t:
Isso resulta em:
Simplificando:

Passo 8

Agora, isolamos P dividindo ambos os lados por :
Onde C é a constante de integração que pode ser determinada se tivermos uma condição inicial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde C é uma constante que pode ser encontrada com uma condição inicial específica.

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