onde é a constante de proporcionalidade cujo valor depende da mercadoria em estudo. Resolva a equação diferencial expressando a oferta e a demanda como funções lineares simples em relação ao preço:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial que relaciona a variação do preço ao longo do tempo . A gente também tem as funções de oferta e demanda expressas de forma linear em relação ao preço. Nosso objetivo é resolver essa equação diferencial para encontrar como o preço muda com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação diferencial que temos:
Aqui, é uma constante que depende da mercadoria em questão. As funções de oferta e demanda são dadas por:
Vamos substituir essas expressões na equação diferencial para simplificar.

Passo 3

Substituindo e na equação diferencial:
Vamos simplificar dentro dos parênteses:
Então, a equação fica:

Passo 4

Agora, vamos reescrever a equação para facilitar a resolução:
Isso pode ser rearranjado para:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem.

Passo 5

Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. Primeiro, identificamos a forma padrão:
onde e . O fator integrante é dado por:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação ao tempo :
Isso resulta em:
Simplificando:

Passo 8

Agora, isolamos dividindo ambos os lados por :
Onde é a constante de integração que pode ser determinada se tivermos uma condição inicial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante que pode ser encontrada com uma condição inicial específica.

Exercícios relacionados

Assim, faça:
11.1. Encontre uma solução para a equação diferencial quando a unidade de aquecimento estiver ligada;
11.2. Encontre uma solução para a equação diferencial quando a unidade de aquecimento estiver desligada;
onde , e são constantes, podemos querer determinar a relação entre e em vez das soluções individuais . Para essa finalidade, divida a primeira equação pela segunda equação para obter
Essa nova equação é homogênea, de modo que podemos resolvê-la pela substituição . Referimos-nos às soluções de (20) como curvas integrais. Determine as curvas integrais para o sistema
onde é a temperatura no prédio num instante é a temperatura externa, é a temperatura desejada para o prédio, é a taxa de aumento de decorrente do funcionamento de máquinas e da presença de pessoas no prédio, e e são constantes (negativas). Resolva essa EDO, supondo que constante, constante, e varie senoidalmente ao longo de 24h, digamos
então:
24.1. A substituição na equação (8) implica
24.2. A substituição em (9) implica
24.3. Resolva a equação diferencial linear de primeira ordem (10), e depois substitua para encontrar e mostre que é igual a