Um alpinista de
está pendurado por uma corda de náilon com
de comprimento e
de diâmetro. Determine (a) a variação do comprimento da corda e (b) a energia potencial elástica armazenada na corda. Suponha que a corda obedece à lei de Hooke.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado dá uma situação com um alpinista de 73,0 kg pendurado numa corda de náilon com 15,0 m de comprimento e 1,00 cm de diâmetro. A gente vai trabalhar com Lei de Hooke, que trata da relação entre força e deformação em materiais elásticos. Para resolver, vamos precisar calcular a variação do comprimento da corda e a energia potencial elástica armazenada nela.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a corda se estica sob o peso do alpinista. A Lei de Hooke nos diz que a força
aplicada em um material elástico é proporcional à sua deformação
:
Onde
é a constante elástica do material. Mas, para achar
, precisamos relacionar com o módulo de Young (
), que é uma propriedade do material que indica sua rigidez.
Passo 3
O módulo de Young é dado por:
Rearranjando para encontrar
:
Aqui:
-
é a força devido ao peso do alpinista ( ) -
é o comprimento original da corda -
é a área da seção transversal da corda -
é o módulo de Young do náilon
Passo 4
Primeiro, vamos calcular a força
:
Agora, a área da seção transversal
da corda, que tem diâmetro de 1,00 cm (0,01 m):
Assumindo que o módulo de Young do náilon é aproximadamente
, substituímos na fórmula de
:
Passo 5
Agora, para calcular a energia potencial elástica armazenada na corda (
), usamos a fórmula:
Mas podemos expressar isso em termos do módulo de Young:
Substituindo os valores que já encontramos:
Resposta
(a) A variação do comprimento da corda é aproximadamente 2,74 mm.
(b) A energia potencial elástica armazenada na corda é aproximadamente 0,980 J.
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