Um alpinista de 73,0 kg está pendurado por uma corda de náilon com 15,0 m de comprimento e 1,00 cm de diâmetro. Determine (a) a variação do comprimento da corda e (b) a energia potencial elástica armazenada na corda. Suponha que a corda obedece à lei de Hooke.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado dá uma situação com um alpinista de 73,0 kg pendurado numa corda de náilon com 15,0 m de comprimento e 1,00 cm de diâmetro. A gente vai trabalhar com Lei de Hooke, que trata da relação entre força e deformação em materiais elásticos. Para resolver, vamos precisar calcular a variação do comprimento da corda e a energia potencial elástica armazenada nela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a corda se estica sob o peso do alpinista. A Lei de Hooke nos diz que a força F = k De aplicada em um material elástico é proporcional à sua deformação :
Onde é a constante elástica do material. Mas, para achar , precisamos relacionar com o módulo de Young ( ), que é uma propriedade do material que indica sua rigidez.

Passo 3

O módulo de Young é dado por:
Y = sigmaepsilon = FADe
Rearranjando para encontrar De:
Aqui:
  • é a força devido ao peso do alpinista ( )
  • é o comprimento original da corda
  • é a área da seção transversal da corda
  • é o módulo de Young do náilon

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a força F = m g = 73,0 , kg times 9,81 , m/s^2 = 716,13 , N :
A = pi (d2)^2 = pi (0,012)^2 = 7,85 times 10^-5 , m^2
Agora, a área da seção transversal De da corda, que tem diâmetro de 1,00 cm (0,01 m):
Assumindo que o módulo de Young do náilon é aproximadamente , substituímos na fórmula de :

Passo 5

Agora, para calcular a energia potencial elástica armazenada na corda ( U = 12 k (De), usamos a fórmula:
U = 12 F De
Mas podemos expressar isso em termos do módulo de Young:
U = 12 times 716,13 times 0,00274 = 0,980 , J
Substituindo os valores que já encontramos:

Resposta

(a) A variação do comprimento da corda é aproximadamente 2,74 mm.
(b) A energia potencial elástica armazenada na corda é aproximadamente 0,980 J.

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