Uma viga uniforme de
de comprimento e
de peso está presa a uma parede por uma dobradiça. A outra extremidade é sustentada por um cabo que faz ângulos de
com a parede e com a viga. Determine (a) a tensão no cabo e (b) a força (magnitude e direção) exercida pela dobradiça sobre a viga.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Temos uma viga uniforme de 3,80 metros de comprimento e peso de 360 N, fixada a uma parede por uma dobradiça. A outra extremidade da viga está sustentada por um cabo que forma ângulos de 53,0° tanto com a parede quanto com a própria viga. Nosso objetivo é determinar:
(a) A tensão no cabo.
(b) A força (magnitude e direção) que a dobradiça exerce sobre a viga.
Para resolver esse problema, vamos usar os conceitos de equilíbrio estático: a soma das forças e a soma dos torques (momentos) devem ser iguais a zero. Precisaremos aplicar essas condições para encontrar as forças desconhecidas.
Passo 2
Vamos começar desenhando um diagrama livre das forças atuando na viga. Temos:
- O peso da viga (360 N) atuando no centro da viga.
- A tensão no cabo, que vamos chamar de T, atuando na direção do cabo.
- A força exercida pela dobradiça, que tem componentes horizontal (H) e vertical (V).
Como a viga está em equilíbrio, podemos aplicar as seguintes condições:
- Soma das forças horizontais = 0.
- Soma das forças verticais = 0.
- Soma dos torques em relação a um ponto (vamos escolher a dobradiça) = 0.
Passo 3
Vamos analisar as forças horizontais e verticais primeiro.
-
Forças horizontais:
- A componente horizontal da tensão no cabo:
. - A componente horizontal da força na dobradiça: H.
Como estão equilibradas:. - A componente horizontal da tensão no cabo:
-
Forças verticais:
- A componente vertical da tensão no cabo:
. - A componente vertical da força na dobradiça: V.
- O peso da viga: 360 N.
Igualando as forças verticais:. - A componente vertical da tensão no cabo:
Passo 4
Agora, vamos calcular o torque em relação à dobradiça. Escolhemos esse ponto porque as forças na dobradiça não contribuem para o torque, simplificando os cálculos.
-
Torque devido ao peso da viga:
- A alavanca é a metade do comprimento da viga:
m. - Torque =
.
- A alavanca é a metade do comprimento da viga:
-
Torque devido à tensão no cabo:
- A alavanca é o comprimento total da viga: 3,80 m.
- A componente vertical da tensão contribui para o torque:
.
Como a viga está em equilíbrio, esses torques devem se equilibrar:
Passo 5
Vamos resolver a equação dos torques para encontrar T:
Calculando:
Isolando T:
Calculando o valor de
:
Passo 6
Agora que temos a tensão no cabo, podemos encontrar as componentes horizontal e vertical das forças na dobradiça.
- Componente horizontal (H):
Calculando
:
- Componente vertical (V):
Usando a equação das forças verticais:
Substituindo T:
Resposta
(a) A tensão no cabo é de aproximadamente 225,5 N.
(b) A força exercida pela dobradiça sobre a viga tem uma magnitude de aproximadamente 225,5 N e atua em uma direção composta por uma componente horizontal de 135,5 N para a direita e uma componente vertical de 180,3 N para cima.
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