Uma viga uniforme de de comprimento e de peso está presa a uma parede por uma dobradiça. A outra extremidade é sustentada por um cabo que faz ângulos de com a parede e com a viga. Determine (a) a tensão no cabo e (b) a força (magnitude e direção) exercida pela dobradiça sobre a viga.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Temos uma viga uniforme de 3,80 metros de comprimento e peso de 360 N, fixada a uma parede por uma dobradiça. A outra extremidade da viga está sustentada por um cabo que forma ângulos de 53,0° tanto com a parede quanto com a própria viga. Nosso objetivo é determinar:
(a) A tensão no cabo.
(b) A força (magnitude e direção) que a dobradiça exerce sobre a viga.
Para resolver esse problema, vamos usar os conceitos de equilíbrio estático: a soma das forças e a soma dos torques (momentos) devem ser iguais a zero. Precisaremos aplicar essas condições para encontrar as forças desconhecidas.

Passo 2

Vamos começar desenhando um diagrama livre das forças atuando na viga. Temos:
  • O peso da viga (360 N) atuando no centro da viga.
  • A tensão no cabo, que vamos chamar de T, atuando na direção do cabo.
  • A força exercida pela dobradiça, que tem componentes horizontal (H) e vertical (V).
Como a viga está em equilíbrio, podemos aplicar as seguintes condições:
  1. Soma das forças horizontais = 0.
  2. Soma das forças verticais = 0.
  3. Soma dos torques em relação a um ponto (vamos escolher a dobradiça) = 0.

Passo 3

Vamos analisar as forças horizontais e verticais primeiro.
  • Forças horizontais:
    • A componente horizontal da tensão no cabo: .
    • A componente horizontal da força na dobradiça: H.
    Como estão equilibradas: .
  • Forças verticais:
    • A componente vertical da tensão no cabo: .
    • A componente vertical da força na dobradiça: V.
    • O peso da viga: 360 N.
    Igualando as forças verticais: .

Passo 4

Agora, vamos calcular o torque em relação à dobradiça. Escolhemos esse ponto porque as forças na dobradiça não contribuem para o torque, simplificando os cálculos.
  • Torque devido ao peso da viga:
    • A alavanca é a metade do comprimento da viga: m.
    • Torque = .
  • Torque devido à tensão no cabo:
    • A alavanca é o comprimento total da viga: 3,80 m.
    • A componente vertical da tensão contribui para o torque: .
Como a viga está em equilíbrio, esses torques devem se equilibrar:
.

Passo 5

Vamos resolver a equação dos torques para encontrar T:
Calculando:
Isolando T:
Calculando o valor de :

Passo 6

Agora que temos a tensão no cabo, podemos encontrar as componentes horizontal e vertical das forças na dobradiça.
  • Componente horizontal (H):
Calculando :
  • Componente vertical (V):
Usando a equação das forças verticais:
Substituindo T:

Resposta

(a) A tensão no cabo é de aproximadamente 225,5 N.
(b) A força exercida pela dobradiça sobre a viga tem uma magnitude de aproximadamente 225,5 N e atua em uma direção composta por uma componente horizontal de 135,5 N para a direita e uma componente vertical de 180,3 N para cima.

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