Qual alternativa destaca a soma dos possíveis valores de , que faz os vetores e formarem um conjunto LD?
a) 0
b)
c)
d)
e) 1
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a soma dos possíveis valores de que fazem com que os vetores , e formem um conjunto linearmente dependente (LD). Para resolver isso, vamos precisar usar determinantes de matrizes, já que três vetores em são linearmente dependentes se o determinante da matriz formada por eles for zero.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os vetores em uma matriz onde cada vetor é uma linha:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou pela expansão de cofatores. Vamos usar a expansão de cofatores pelo primeiro elemento da primeira linha:
Calculando cada menor:
Substituindo de volta na expressão do determinante:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão:
Agora, juntando os termos semelhantes:
Passo 5
Para que os vetores sejam linearmente dependentes, o determinante deve ser igual a zero:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando:
Então, os possíveis valores de são e . A soma desses valores é:
Resposta
A soma dos possíveis valores de é . Portanto, a alternativa correta é a c) .