Qual alternativa destaca a soma dos possíveis valores de m, que faz os vetores u=(3,-1,2), v= (-2, m, 1) e w=(4, 17, m) formarem um conjunto LD?
a) 0
b) 113
c) 103
d) 73
e) 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a soma dos possíveis valores de que fazem com que os vetores , e formem um conjunto linearmente dependente (LD). Para resolver isso, vamos precisar usar determinantes de matrizes, já que três vetores em são linearmente dependentes se o determinante da matriz formada por eles for zero.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores em uma matriz onde cada vetor é uma linha:
3 & -1 & 2 -2 & m & 1 4 & 17 & m

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz det = 3 cdot m & 1 17 & m - (-1) cdot -2 & 1 4 & m + 2 cdot -2 & m 4 & 17 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou pela expansão de cofatores. Vamos usar a expansão de cofatores pelo primeiro elemento da primeira linha:
m & 1 17 & m = m cdot m - 1 cdot 17 = m^2 - 17
Calculando cada menor:
-2 & 1 4 & m = (-2) cdot m - 1 cdot 4 = -2m - 4
-2 & m 4 & 17 = (-2) cdot 17 - m cdot 4 = -27 - 4m
det = 3 ( m^2 - 17 ) + 1 cdot (-2m - 4) + 2 ( -27 - 4m )
Substituindo de volta na expressão do determinante:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão:
det = 3m^2 - 37 - 2m - 4 - 47 - 8m
Agora, juntando os termos semelhantes:
det = 3m^2 - 10m - 77 = 3m^2 - 10m - 1

Passo 5

Para que os vetores sejam linearmente dependentes, o determinante deve ser igual a zero:
3m^2 - 10m - 1 = 0
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
m = 10 pm raiz(-10)^2 - 4 cdot 3 cdot (-1)2 cdot 3 = 10 pm raiz100 + 126 = 10 pm raiz1126 = 10 pm 4raiz76
Simplificando:
m = 5 pm 2raiz73
Então, os possíveis valores de 5 + 2raiz73 + 5 - 2raiz73 = 103 são e . A soma desses valores é:

Resposta

A soma dos possíveis valores de é . Portanto, a alternativa correta é a c) .

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