No tetraedro , sejam e , respectivamente, os pontos médios de e , e o baricentro (ponto de encontro das medianas) do triângulo .
(a) Exprima como combinação linear de B A, B C, B D.
(b) Calcule m para que o ponto X=B+m B G pertença ao plano da face A C D.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria vetorial passo a passo! A gente tem um tetraedro e alguns pontos médios e o baricentro de um triângulo formado por esses pontos. No item (a), precisamos expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores , e . No item (b), precisamos encontrar um valor de tal que o ponto esteja no plano da face . Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores, pontos médios e baricentro.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos médios:
é o ponto médio de , então .
é o ponto médio de , então .
é o ponto médio de , então .
Passo 3
O baricentro do triângulo é o ponto de encontro das medianas desse triângulo. Sabemos que o baricentro divide cada mediana na razão 2:1, contando a partir do vértice. Vamos expressar a posição de em termos dos vetores dados.
Passo 4
Para encontrar BM = 12BD , vamos expressar BN = BC + 12CD = BC + 12(BD - BC) = 12BC + 12BD em termos dos vetores BP = 12BA + 12BC , e .
Primeiro, expressamos as posições de , e :
Passo 5
Agora, para encontrar BG = 13 (BM + BN + BP) , o baricentro do triângulo BG = 13 ( 12BD + (12BC + 12BD) + (12BA + 12BC) ) , usamos a fórmula do baricentro:
Substituindo os valores encontrados:
Passo 6
Simplificando a expressão:
BG = 13 ( 12BD + 12BC + 12BD + 12BA + 12BC )
BG = 13 ( 12BA + BC + BD )
Passo 7
Distribuindo o BG = 16BA + 13BC + 13BD :
Passo 8
Portanto, BG = 16BA + 13BC + 13BD como combinação linear de , e é:
Passo 9
Agora, vamos ao item (b). Queremos encontrar tal que esteja no plano da face .
Sabemos que qualquer ponto no plano pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores , e .
Passo 10
Substituindo BX = mBG = m( 16BA + 13BC + 13BD ) na expressão de :
Para que esteja no plano , o vetor deve ser uma combinação linear de , e .
Passo 11
Igualando as expressões, temos:
m( 16BA + 13BC + 13BD ) = k1BA + k2BC + k3BD
Para que essa igualdade seja válida para algum m6 = k1 , os coeficientes dos vetores devem ser iguais:
m3 = k2
m3 = k3
Passo 12
Observando que os coeficientes de e são iguais, não há restrição adicional sobre para que esteja no plano além de ser qualquer real. Contudo, para garantir que realmente pertença ao plano , devemos considerar que deve satisfazer uma equação específica desse plano, o que levaria a calcular especificamente.
Passo 13
Vamos considerar que o plano m3 = 0 implies m = 0 é definido pelos vetores e . Assim, estará no plano se o componente na direção de for zero, ou seja: