No tetraedro , sejam e , respectivamente, os pontos médios de e , e o baricentro (ponto de encontro das medianas) do triângulo .
(a) Exprima como combinação linear de .
(b) Calcule para que o ponto pertença ao plano da face .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria vetorial passo a passo! A gente tem um tetraedro e alguns pontos médios e o baricentro de um triângulo formado por esses pontos. No item (a), precisamos expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores , e . No item (b), precisamos encontrar um valor de tal que o ponto esteja no plano da face . Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores, pontos médios e baricentro.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos médios:
  • é o ponto médio de , então .
  • é o ponto médio de , então .
  • é o ponto médio de , então .

Passo 3

O baricentro do triângulo é o ponto de encontro das medianas desse triângulo. Sabemos que o baricentro divide cada mediana na razão 2:1, contando a partir do vértice. Vamos expressar a posição de em termos dos vetores dados.

Passo 4

Para encontrar , vamos expressar em termos dos vetores , e .
Primeiro, expressamos as posições de , e :

Passo 5

Agora, para encontrar , o baricentro do triângulo , usamos a fórmula do baricentro:
Substituindo os valores encontrados:

Passo 6

Simplificando a expressão:

Passo 7

Distribuindo o :

Passo 8

Portanto, como combinação linear de , e é:

Passo 9

Agora, vamos ao item (b). Queremos encontrar tal que esteja no plano da face .
Sabemos que qualquer ponto no plano pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores , e .

Passo 10

Substituindo na expressão de :
Para que esteja no plano , o vetor deve ser uma combinação linear de , e .

Passo 11

Igualando as expressões, temos:
Para que essa igualdade seja válida para algum , os coeficientes dos vetores devem ser iguais:

Passo 12

Observando que os coeficientes de e são iguais, não há restrição adicional sobre para que esteja no plano além de ser qualquer real. Contudo, para garantir que realmente pertença ao plano , devemos considerar que deve satisfazer uma equação específica desse plano, o que levaria a calcular especificamente.

Passo 13

Vamos considerar que o plano é definido pelos vetores e . Assim, estará no plano se o componente na direção de for zero, ou seja:

Resposta

(a)
(b)

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Considere o triângulo formado pelos pontos e . E seja um ponto no lado do triângulo tal que o segmento seja perpendicular ao lado . Qual o comprimento do segmento ?
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d. 3
e. 1
Qual alternativa destaca a soma dos possíveis valores de , que faz os vetores e formarem um conjunto LD?
a) 0
b)
c)
d)
e) 1
Determine a distância entre os pontos e listados a abaixo. e ;
Determine a distância entre os pontos e listados a abaixo. e .