No tetraedro A B C D, sejam M, N e P, respectivamente, os pontos médios de B D, C D e A C, e G o baricentro (ponto de encontro das medianas) do triângulo M N P.
(a) Exprima B G como combinação linear de B A, B C, B D.
(b) Calcule m para que o ponto X=B+m B G pertença ao plano da face A C D.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria vetorial passo a passo! A gente tem um tetraedro e alguns pontos médios e o baricentro de um triângulo formado por esses pontos. No item (a), precisamos expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores , e . No item (b), precisamos encontrar um valor de tal que o ponto esteja no plano da face . Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores, pontos médios e baricentro.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos médios:
  • é o ponto médio de , então .
  • é o ponto médio de , então .
  • é o ponto médio de , então .

Passo 3

O baricentro do triângulo é o ponto de encontro das medianas desse triângulo. Sabemos que o baricentro divide cada mediana na razão 2:1, contando a partir do vértice. Vamos expressar a posição de em termos dos vetores dados.

Passo 4

Para encontrar BM = 12BD , vamos expressar BN = BC + 12CD = BC + 12(BD - BC) = 12BC + 12BD em termos dos vetores BP = 12BA + 12BC , e .
Primeiro, expressamos as posições de , e :

Passo 5

Agora, para encontrar BG = 13 (BM + BN + BP) , o baricentro do triângulo BG = 13 ( 12BD + (12BC + 12BD) + (12BA + 12BC) ) , usamos a fórmula do baricentro:
Substituindo os valores encontrados:

Passo 6

Simplificando a expressão:
BG = 13 ( 12BD + 12BC + 12BD + 12BA + 12BC )
BG = 13 ( 12BA + BC + BD )

Passo 7

Distribuindo o BG = 16BA + 13BC + 13BD :

Passo 8

Portanto, BG = 16BA + 13BC + 13BD como combinação linear de , e é:

Passo 9

Agora, vamos ao item (b). Queremos encontrar tal que esteja no plano da face .
Sabemos que qualquer ponto no plano pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores , e .

Passo 10

Substituindo BX = mBG = m( 16BA + 13BC + 13BD ) na expressão de :
Para que esteja no plano , o vetor deve ser uma combinação linear de , e .

Passo 11

Igualando as expressões, temos:
m( 16BA + 13BC + 13BD ) = k1BA + k2BC + k3BD
Para que essa igualdade seja válida para algum m6 = k1 , os coeficientes dos vetores devem ser iguais:
m3 = k2
m3 = k3

Passo 12

Observando que os coeficientes de e são iguais, não há restrição adicional sobre para que esteja no plano além de ser qualquer real. Contudo, para garantir que realmente pertença ao plano , devemos considerar que deve satisfazer uma equação específica desse plano, o que levaria a calcular especificamente.

Passo 13

Vamos considerar que o plano m3 = 0 implies m = 0 é definido pelos vetores e . Assim, estará no plano se o componente na direção de for zero, ou seja:

Resposta

(a) BG = 16BA + 13BC + 13BD
(b)

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