Considere o triângulo formado pelos pontos e . E seja um ponto no lado do triângulo tal que o segmento seja perpendicular ao lado . Qual o comprimento do segmento ?
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d. 3
e. 1

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um triângulo no espaço formado pelos pontos , e . Queremos encontrar o comprimento do segmento , sendo um ponto no lado tal que o segmento seja perpendicular a .
Aqui vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional, como vetores, produtos escalares e fórmulas de distância.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o vetor , que vai nos ajudar a parametrizar o ponto . O vetor é dado por:

Passo 3

Vamos parametrizar o ponto ao longo do segmento . Podemos expressar como:
onde é um parâmetro que varia de 0 a 1.

Passo 4

Sabemos que é perpendicular a . Isso significa que o produto escalar entre os vetores e é zero:
Primeiro, vamos encontrar :

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar :

Passo 6

Com o valor de , podemos encontrar as coordenadas de :

Passo 7

Agora, vamos calcular o comprimento de usando a fórmula da distância entre dois pontos:

Resposta

A resposta correta é a opção a. .

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Qual alternativa destaca a soma dos possíveis valores de , que faz os vetores e formarem um conjunto LD?
a) 0
b)
c)
d)
e) 1
Para quais valores de , os pontos e se tornam coplanares, isto é, pertencem ao mesmo plano?
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
No tetraedro , sejam e , respectivamente, os pontos médios de e , e o baricentro (ponto de encontro das medianas) do triângulo .
(a) Exprima como combinação linear de .
(b) Calcule para que o ponto pertença ao plano da face .
Determine a distância entre os pontos e listados a abaixo. e ;