Considere o triângulo formado pelos pontos
e
. E seja
um ponto no lado
do triângulo tal que o segmento
seja perpendicular ao lado
. Qual o comprimento do segmento
?
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d. 3
e. 1
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d. 3
e. 1
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um triângulo no espaço formado pelos pontos
,
e
. Queremos encontrar o comprimento do segmento
, sendo
um ponto no lado
tal que o segmento
seja perpendicular a
.
Aqui vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional, como vetores, produtos escalares e fórmulas de distância.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o vetor
, que vai nos ajudar a parametrizar o ponto
. O vetor
é dado por:
Passo 3
Vamos parametrizar o ponto
ao longo do segmento
. Podemos expressar
como:
onde
é um parâmetro que varia de 0 a 1.
Passo 4
Sabemos que
é perpendicular a
. Isso significa que o produto escalar entre os vetores
e
é zero:
Primeiro, vamos encontrar
:
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 6
Com o valor de
, podemos encontrar as coordenadas de
:
Passo 7
Agora, vamos calcular o comprimento de
usando a fórmula da distância entre dois pontos:
Resposta
A resposta correta é a opção a.
.