Considere o triângulo formado pelos pontos e . E seja um ponto no lado do triângulo tal que o segmento seja perpendicular ao lado . Qual o comprimento do segmento ?
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d. 3
e. 1
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um triângulo no espaço formado pelos pontos , e . Queremos encontrar o comprimento do segmento , sendo um ponto no lado tal que o segmento seja perpendicular a .
Aqui vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional, como vetores, produtos escalares e fórmulas de distância.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o vetor , que vai nos ajudar a parametrizar o ponto . O vetor é dado por:
Passo 3
Vamos parametrizar o ponto ao longo do segmento . Podemos expressar como:
onde é um parâmetro que varia de 0 a 1.
Passo 4
Sabemos que é perpendicular a . Isso significa que o produto escalar entre os vetores e é zero:
Primeiro, vamos encontrar :
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar :
Passo 6
Com o valor de , podemos encontrar as coordenadas de :
Passo 7
Agora, vamos calcular o comprimento de usando a fórmula da distância entre dois pontos: