Considere o triângulo formado pelos pontos A=(2,1,1), B=(3,1,1) e C=(4,3,2). E seja D um ponto no lado A C do triângulo tal que o segmento B D seja perpendicular ao lado A C. Qual o comprimento do segmento A D ?
Escolha uma opção:
a. 23
b. 73
c. 53
d. 3
e. 1

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um triângulo no espaço formado pelos pontos , e . Queremos encontrar o comprimento do segmento , sendo um ponto no lado tal que o segmento seja perpendicular a .
Aqui vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional, como vetores, produtos escalares e fórmulas de distância.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o vetor AC = C - A = (4-2, 3-1, 2-1) = (2, 2, 1) , que vai nos ajudar a parametrizar o ponto . O vetor é dado por:

Passo 3

Vamos parametrizar o ponto D = A + t cdot AC = (2,1,1) + t cdot (2,2,1) = (2 + 2t, 1 + 2t, 1 + t) ao longo do segmento . Podemos expressar como:
onde é um parâmetro que varia de 0 a 1.

Passo 4

Sabemos que BD cdot AC = 0 é perpendicular a BD = D - B = (2 + 2t - 3, 1 + 2t - 1, 1 + t - 1) = (-1 + 2t, 2t, t) . Isso significa que o produto escalar entre os vetores e é zero:
Primeiro, vamos encontrar :

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar (-1 + 2t) cdot 2 + (2t) cdot 2 + t cdot 1 = 0 :
-2 + 4t + 4t + t = 0
9t - 2 = 0
t = 29

Passo 6

Com o valor de D = (2 + 2 cdot 29, 1 + 2 cdot 29, 1 + 29) = (2 + 49, 1 + 49, 1 + 29) = (229, 139, 119) , podemos encontrar as coordenadas de :

Passo 7

Agora, vamos calcular o comprimento de AD = raiz(xD - xA)^2 + (yD - yA)^2 + (zD - zA)^2 usando a fórmula da distância entre dois pontos:
AD = raiz(229 - 2)^2 + (139 - 1)^2 + (119 - 1)^2
AD = raiz(49)^2 + (49)^2 + (29)^2
AD = raiz1681 + 1681 + 481 = raiz3681 = raiz49 = 23

Resposta

A resposta correta é a opção a. .

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