Qual dos alternativas abaixo representa possíveis coordenadas polares do ponto (x, y) = (2, -3)
(A) (r, θ) = (raiz(13), pi - arcsen(3 / raiz(13))).
(B) (r, theta) = (raiz(13), 2 pi + arcsen(3 / raiz(13))).
© (r, θ) = (raiz(13), arcsen(3 / raiz(13))).
(D) (r, θ) = (raiz(13), pi + arcsen(3 / raiz(13))).
(E) (r, θ) = (raiz(13), 2*pi - arcsen(3/raiz(13))).
(F) Nenhuma das anteriores.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar as coordenadas polares do ponto . Vamos usar conceitos de coordenadas polares, que envolvem calcular a distância do ponto à origem (o raio r) e o ângulo theta que esse ponto forma com o eixo positivo dos x. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de distância e funções trigonométricas como o seno e o arco seno.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o raio r. A fórmula para isso é:
Substituindo os valores:
Então, .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o ângulo theta. Sabemos que:
Substituindo os valores de y e r:
Isso nos dá:

Passo 4

Entretanto, precisamos considerar em qual quadrante o ponto está localizado para determinar o ângulo correto. Como x = 2 é positivo e é negativo, o ponto está no 4º quadrante. No 4º quadrante, o ângulo theta pode ser calculado como:
Notem que usamos o valor positivo dentro do arco seno e subtraímos de para ajustar ao 4º quadrante.

Resposta

A alternativa correta é a (E):

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