Reescreva a equação 25 x^2 + 16 y^2 + 50 x - 64 y - 311 = 0 na forma padrão e classifique a cônica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação . Nosso objetivo é reescrever essa equação na forma padrão de uma cônica e descobrir qual tipo de cônica ela representa. Para isso, vamos precisar entender como completar o quadrado para as variáveis e .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os termos de e . Ficou assim: .

Passo 3

Agora, vamos fatorar os coeficientes das variáveis quadráticas para facilitar o processo de completar o quadrado:

Passo 4

Vamos completar o quadrado para a parte com :
Dentro do parênteses: . Para completar o quadrado, a gente pega metade do coeficiente de , que é 1, e eleva ao quadrado, ficando . Então adicionamos e subtraímos :
Isso fica:

Passo 5

Fazemos o mesmo para a parte com :
Dentro do parênteses: . Metade de é e ao quadrado dá . Então adicionamos e subtraímos :
Isso fica:

Passo 6

Distribuímos os coeficientes:

Passo 7

Somamos os termos constantes:
Então:

Passo 8

Isolamos os termos quadráticos:

Passo 9

Dividimos tudo por 400 para deixar a equação na forma padrão:
Simplificando as frações:

Resposta

A equação na forma padrão é , e a cônica é uma elipse.

Exercícios relacionados