Considere a solução do problema de valor inicial
l d yd t=-y(y+a)(y^2-a^2), para a>10^4 y(t0)=y0
Podemos afirmar que:
square Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se -a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
b Se -a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se 0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a ou y0>a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
c Se y0<0, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty.
d Se-a, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
e Se -a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se 0, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0>a, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
f Se y0<0, então |y(t)| +infty, quando t cresce. Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de valor inicial com a equação diferencial:
l dydt = -y(y + a)(y^2 - a^2), para a > 10^4 y(t0) = y0
Aqui, queremos descobrir para quais valores de a solução se comporta de determinada maneira quando tende ao infinito. Vamos precisar entender os pontos de equilíbrio e analisar o comportamento da solução em torno desses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio, ou seja, os valores de -y(y + a)(y^2 - a^2) = 0 para os quais . Igualando a equação a zero:
Isso acontece quando:
  1. ou
Então, nossos pontos de equilíbrio são , e .

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento da solução em cada intervalo determinado por esses pontos de equilíbrio. Vamos dividir a linha dos números reais em regiões e verificar o sinal de dydt = -(negativo)(negativo)(positivo) = -(positivo) = negativo em cada uma delas:
  1. Para dydt = -(negativo)(positivo)(negativo) = -(positivo) = negativo :
    • dydt = -(positivo)(positivo)(negativo) = -(negativo) = positivo é negativo.
    • dydt = -(positivo)(positivo)(positivo) = -(positivo) = negativo é negativo.
    • é positivo.
    Então:
    Isso significa que está diminuindo.
  2. Para :
    • é negativo.
    • é positivo (porque ).
    • é negativo (pois ).
    Então:
    Novamente, está diminuindo.
  3. Para :
    • é positivo.
    • é positivo.
    • é negativo.
    Então:
    Agora, está aumentando.
  4. Para :
    • é positivo.
    • é positivo.
    • é positivo.
    Então:
    Aqui, está diminuindo.

Passo 4

Vamos resumir o que descobrimos:
  • : É um ponto estável porque as soluções próximas a tendem a se aproximar de quando vai para o infinito.
  • : É um ponto instável. Se você começa um pouco acima de 0, aumenta; se começa abaixo, diminui.
  • : Não é um ponto estável. As soluções não tendem a se aproximar de a partir de qualquer lado; ao contrário, continuam diminuindo.

Passo 5

Com base nessa análise, vamos ver como as soluções se comportam para diferentes valores iniciais :
  • Se e : aumenta e se aproxima de quando .
  • Se : diminui e se aproxima de quando .
  • Se : diminui sem parar, tendendo a quando aumenta.
  • Se : também diminui sem parar, indo para .

Resposta

A opção f está correta:
f Se , então , quando cresce. Se , então a solução se aproxima de , quando .

Exercícios relacionados

Qual das alternativas representa a solução geral da equação diferencial
1/4 dy/dt + (-3/4 + 1/t) y = t e^(3t)
y(t) = (2 t^2 / 3) e^(3 t) + c (e^(3 t) / t^4).
d y(t) = (2 t^2 / 3) e^(3 t) + c.
b y(t) = (4t/9 + 128/(729t) - 32/81) e^(3t) + c e^(3t/4)/t.
(e) y(t) = (4t/9 + 128/(729t) - 32/81) e^(3t) + c e^(3t)/t^4.
c y(t) = (4/(3 t^3) - 4/(9 t^4)) e^(-6 t) + c e^(3 t)/t^4.
f] y(t) = (2 * t^2) / 3 * e^(3 * t).
Considere a solução do problema de valor inicial
l d yd t=-y(y-a)(y^2+2 a y+a^2), para 0
Podemos afirmar que:
Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se -a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
b Se -a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se 0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a ou y0>a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
c Se y0<0, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty.
d Se-a, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
e Se -a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se 0, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0>a, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
f Se y0<0, então |y(t)| +infty, quando t cresce. Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty.
Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial
dy/dx = -(x - 1) / (y(y + 1)(y - 2)) y(1 + raiz(31 / 6)) = 1
Observação: raiz(31 / 6) aproximadamente 2.3,5 raiz(3) / 3 aproximadamente 2.9, raiz(3) aproximadamente 1.7, raiz(23 / 6) aproximadamente 2.0.
squared(1 + raiz(3), 1 + 5 * (raiz(3) / 3)).
d (1 + raiz(23 / 6), 1 + 5 * raiz(3) / 3).
b (1 - 5 raiz(3)/3, 1 + 5 raiz(3)/3).
e (1 - raiz(3), +infinito).
c (1 - raiz(3), 1 + 5 * (raiz(3) / 3)).
f (1 + raiz(3), +infinito).
Qual das alternativas representa a solução do problema de valor inicial dado a seguir?
cos(t) dy/dt + (3 cos(t) - sen(t)) y = t e^(-3 t), y(0) = -1
y(t) = (t^2 * e^(-3t)) / (2 * cos(t)) - (e^(-3t)) / (cos(t)).
d y(t) = (t * e^(-3 * t)) / (2 * cos(t)) - (e^(-3 * t)) / cos(t).
b y(t) = (t * e^(-3 * t) * sen(t)) / cos(t) - (2 * e^(-3 * t)) / cos(t) + e^(-3 * t).
e) y(t) = (t^2 e^(-3 t)) / (2 cos(t)) - 1.
C y = (e^(-3 t) * sen(t)) / cos(t) - (e^(-3 t)) / cos(t).
f y(t) = (t^2 * e^(-3t) * sen(t)) / cos(t) - (2 * e^(-3t)) / cos(t) + e^(-3t).