Qual das alternativas representa a solução geral da equação diferencial
1/4 dy/dt + (-3/4 + 1/t) y = t e^(3t)
y(t) = (2 t^2 / 3) e^(3 t) + c (e^(3 t) / t^4).
d y(t) = (2 t^2 / 3) e^(3 t) + c.
b y(t) = (4t/9 + 128/(729t) - 32/81) e^(3t) + c e^(3t/4)/t.
(e) y(t) = (4t/9 + 128/(729t) - 32/81) e^(3t) + c e^(3t)/t^4.
c y(t) = (4/(3 t^3) - 4/(9 t^4)) e^(-6 t) + c e^(3 t)/t^4.
f] y(t) = (2 * t^2) / 3 * e^(3 * t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos pede para encontrar a solução geral da equação:
Aqui, a matéria envolvida é equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão das equações diferenciais lineares, que é:
Para isso, multiplicamos toda a equação original por 4 para eliminar as frações:
Agora, identificamos:

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante ( ), que nos ajuda a resolver a equação. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular a integral de :
Então, o fator integrante fica:

Passo 4

Com o fator integrante, multiplicamos toda a equação diferencial por :
Simplificando o lado direito:
E o lado esquerdo se torna a derivada do produto :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados para encontrar :
A integral do lado esquerdo simplesmente retorna , e a do lado direito:
Então:

Passo 6

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Considere a solução do problema de valor inicial
l d yd t=-y(y-a)(y^2+2 a y+a^2), para 0
Podemos afirmar que:
Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se -a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
b Se -a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se 0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a ou y0>a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
c Se y0<0, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty.
d Se-a, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
e Se -a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se 0, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0>a, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
f Se y0<0, então |y(t)| +infty, quando t cresce. Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty.
Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial
l d yd x=-x+1y(y+1)(y-2) y(-1+raiz31 / 6)=1
Observação: raiz31 / 6 approx 2.3,5 raiz3 / 3 approx 2.9, raiz3 approx 1.7, raiz23 / 6 approx 2.0.
ll ( -1+raiz3,-1+5 raiz33) & d (-1+raiz236,-1+5 raiz33) b (-1-5 raiz33,-1+5 raiz33) & e (-1-raiz3,+infty) c (-1-raiz3,-1+5 raiz33) & f (-1+raiz3,+infty)
Considere a solução do problema de valor inicial
l d yd t=-y(y+a)(y^2-a^2), para a>10^4 y(t0)=y0
Podemos afirmar que:
square Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se -a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
b Se -a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se 0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a ou y0>a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
c Se y0<0, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty.
d Se-a, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
e Se -a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se 0, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0>a, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
f Se y0<0, então |y(t)| +infty, quando t cresce. Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty.
Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial
dy/dx = -(x - 1) / (y(y + 1)(y - 2)) y(1 + raiz(31 / 6)) = 1
Observação: raiz(31 / 6) aproximadamente 2.3,5 raiz(3) / 3 aproximadamente 2.9, raiz(3) aproximadamente 1.7, raiz(23 / 6) aproximadamente 2.0.
squared(1 + raiz(3), 1 + 5 * (raiz(3) / 3)).
d (1 + raiz(23 / 6), 1 + 5 * raiz(3) / 3).
b (1 - 5 raiz(3)/3, 1 + 5 raiz(3)/3).
e (1 - raiz(3), +infinito).
c (1 - raiz(3), 1 + 5 * (raiz(3) / 3)).
f (1 + raiz(3), +infinito).