Qual das alternativas representa a solução geral da equação diferencial
.
d
.
b
.
(e)
.
c
.
f]
.
d
b
(e)
c
f]
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos pede para encontrar a solução geral da equação:
Aqui, a matéria envolvida é equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão das equações diferenciais lineares, que é:
Para isso, multiplicamos toda a equação original por 4 para eliminar as frações:
Agora, identificamos:
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante (
), que nos ajuda a resolver a equação. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular a integral de
:
Então, o fator integrante fica:
Passo 4
Com o fator integrante, multiplicamos toda a equação diferencial por
:
Simplificando o lado direito:
E o lado esquerdo se torna a derivada do produto
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados para encontrar
:
A integral do lado esquerdo simplesmente retorna
, e a do lado direito:
Então:
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Considere a solução do problema de valor inicial
Podemos afirmar que:
Se , então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então
, quando
cresce.
b Se , então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
ou
, então
, quando
cresce.
c Se , então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
.
d , então a solução se aproxima de 0 , quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então
, quando
cresce.
e Se , então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então a solução se aproxima de 0 , quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então
, quando
cresce.
f Se , então
, quando
cresce. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
.
Se
b Se
c Se
d
e Se
f Se
Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial
Observação:
.
Considere a solução do problema de valor inicial
Podemos afirmar que:
Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então
, quando
cresce.
b Se , então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
ou
, então
, quando
cresce.
c Se , então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
.
d , então a solução se aproxima de 0 , quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então
, quando
cresce.
e Se , então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então a solução se aproxima de 0 , quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então
, quando
cresce.
f Se , então
, quando
cresce. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
.
b Se
c Se
d
e Se
f Se
Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial
Observação:
.
.
d .
b .
e .
c .
f .
d
b
e
c
f