Considere a solução do problema de valor inicial
Podemos afirmar que
Se
, então a solução se aproxima de 0 , quando
. Se
, então a solução se aproxima de +1 , quando
. Se
, então
, quando
cresce.
b Se
, então a solução se aproxima de 0 , quando
. Se
, então
, quando
cresce. Se
, então a solução se aproxima de +1 , quando
.
c Se
, então a solução se aproxima de +1 , quando
. Se
, então a solução se aproxima de -1 , quando
. Se
, então
, quando
cresce.
d Se
, então a solução se aproxima de -1 , quando
. Se
, então a solução se aproxima de +1 , quando
. Se
ou
, então
, quando
cresce.
e Se
, então a solução se aproxima de -1 , quando
. Se
, então a solução se aproxima de 0 , quando
. Se
, então a solução se aproxima de +1 , quando
.
f Se
, então a solução se aproxima de -1 , quando
. Se
, então a solução se aproxima de 0 , quando
. Se
, então a solução se aproxima de +1 , quando
.
Se
b Se
c Se
d Se
e Se
f Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre uma equação diferencial de valor inicial, que é basicamente uma equação que descreve como uma quantidade
muda ao longo do tempo
. A equação que temos é:
E a condição inicial é
. A questão nos dá várias opções sobre para onde a solução
tende quando
vai para mais infinito, dependendo do valor inicial
. Para resolver isso, vamos precisar entender os pontos de equilíbrio da equação e a estabilidade deles.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio. Esses são os valores de
que fazem com que
. Então, igualando a equação a zero:
Isso dá três soluções:
Estes são os pontos onde a solução pode “ficar parada” se começar exatamente neles.
Passo 3
Agora, vamos analisar a estabilidade de cada ponto de equilíbrio. Isso nos diz o que acontece se a solução começar perto de um desses pontos:
-
: - Vamos olhar o sinal de
perto de 0. - Se
for um pouco maior que 0, digamos : Isso significa que vai aumentar. - Se
for um pouco menor que 0, digamos :Aqui também vai aumentar. - Então, perto de
, tende a aumentar, indicando que é um ponto instável.
- Vamos olhar o sinal de
-
: - Se
for um pouco maior que -1, por exemplo, : aumenta. - Se
for um pouco menor que -1, digamos : diminui. - Isso indica que
é um ponto estável por um lado e instável pelo outro.
- Se
-
: - Se
for um pouco maior que 1, por exemplo, : diminui. - Se
for um pouco menor que 1, digamos : aumenta. - Assim,
também é um ponto estável por um lado e instável pelo outro.
- Se
Passo 4
Com essa análise de estabilidade, podemos determinar para onde a solução
vai conforme
cresce:
-
Se
: - A solução está entre -1 e 0.
- Como
é instável e é estável de um lado, a solução tende a se aproximar de 0.
-
Se
: - A solução está entre 0 e 1.
- Como
é estável de um lado, a solução tende a se aproximar de 1.
-
Se
ou : - Fora dos pontos de equilíbrio.
- A solução tende a infinito positivo ou negativo, respectivamente.
Passo 5
Comparando com as opções dadas:
- Opção b:
- Se
, aproxima de 0. - Se
, |y(t)| → ∞. - Se
, aproxima de +1. - Isso está correto de acordo com nossa análise.
- Se
Resposta
A opção b é a correta.
Exercícios relacionados
Qual das alternativas representa a solução geral da equação diferencial
d]
b
e)
©
f
Qual das alternativas representa a solução geral da equação diferencial
d]
(b)
e
c)
f]
Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial
■
|
d
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---|---|
b
|
e
|
c
|
f
|
Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial
b
c
d
e
f