Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial dado abaixo?
dy/dx = (x + 2) / (2 * (y^3 - y)) y(-3/4) = 1/2
Observação: raiz(2) ≈ 1.4.
(-1, -2 + raiz(2)). d (-2 - raiz(2), +infinito).
b (-3, -2 + raiz(2)). e (-3, +infinito).
c (-2 - raiz(2), -2 + raiz(2)). f (-1, +infinito).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pergunta qual alternativa representa o intervalo de validade da solução de um problema de valor inicial dado por uma equação diferencial. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de Equações Diferenciais Ordinárias e Intervalos de Validade de Soluções. Vamos precisar separar as variáveis e integrar para encontrar a solução, além de analisar onde essa solução é válida.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a equação diferencial:
E a condição inicial:
Nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar em função de e então determinar onde essa solução é válida.

Passo 3

Vamos começar separando as variáveis para facilitar a integração. Isso significa colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro:

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados:
Resolvendo as integrais:
Simplificando:

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante . Sabemos que quando , :
Calculando cada termo:

Passo 6

Agora substituímos na equação geral:
Essa é a nossa solução implícita.

Passo 7

Para determinar o intervalo de validade, precisamos identificar onde a solução é contínua e diferenciável, ou seja, onde o denominador da equação diferencial não é zero e a solução existe. Observando o denominador , vemos que ele se anula quando ou . Nossa condição inicial é , que está entre e . Portanto, a solução será válida até que alcance esses valores problemáticos.

Passo 8

A partir da solução implícita, podemos analisar que o intervalo de onde a solução é válida é limitado pelas raízes que aparecem quando se aproxima de ou . Calculando esses limites e considerando a condição inicial, encontramos que o intervalo de validade é:
Isso significa que a solução é válida para todos os nesse intervalo.

Resposta

A alternativa correta é b) .

Exercícios relacionados

Qual das alternativas representa a solução do problema de valor inicial dado a seguir?
cos (2 t) d yd t-(4 cos (2 t)+2 sin (2 t)) y=t e^4 t, y(0)=-1 / 4
ll D y(t)=t^2 e^4 t2 cos (2 t)-e^4 t4 cos (2 t) & d y(t)=t e^4 t2 cos (2 t)-e^4 t4 cos (2 t) b y(t)=t e^4 t sin (2 t)2 cos (2 t)-e^4 t2 cos (2 t)+e^4 t4 & e y(t)=t^2 e^4 t2 cos (2 t)-14 c y=e^4 t sin (2 t)2 cos (2 t)-e^4 t4 cos (2 t) & f y(t)=t^2 e^4 t sin (2 t)cos (2 t)-e^4 t2 cos (2 t)+e^4 t4
Um professor pediu a um aluno que escrevesse um PVI para descrever o comportamento de uma população, que satisfaça as seguintes condições:
  1. A população limiar é y_L, ou seja, se a população inicial for menor do que y_L, então a população tende a zero, quando t -> +infinito e se for maior do que y_L, então a população é crescente.
  2. Se a população inicial for igual a zero, então ela permanece neste valor, quando t cresce.
    Qual das alternativas representa o PVI correto?
    d y/d t = k y (y - y_L), k > 0, y(0) = y_0
    d. dy/dt = k(y - yL), k > 0, y(0) = y0
    b { dy/dt = k*y*(yL - y), k > 0, y(0) = y0 }
    e. dy/dt = k * y * (yL - y)^2, k > 0, y(0) = y0
    c dy/dt = k(yl - y), k > 0, y(0) = y0
    f dy/dt = k * y^2 * (y - yL)^2, k > 0, y(0) = y0
Calcule as integrais usando coordenadas esféricas: integral triplaE(x^2+y^2+z^2)^5 / 2 d V, onde E é a esfera unitária.
Calcule as integrais usando coordenadas esféricas: integral0^1 integral0^raiz1-x^2 integral-raizx^2+y^2^raiz2-x^2-y^2 x y d z d y d x