Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial dado abaixo?
dy/dx = (x + 2) / (2 * (y^3 - y)) y(-3/4) = 1/2
Observação: raiz(2) ≈ 1.4.
(-1, -2 + raiz(2)). d (-2 - raiz(2), +infinito).
b (-3, -2 + raiz(2)). e (-3, +infinito).
c (-2 - raiz(2), -2 + raiz(2)). f (-1, +infinito).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pergunta qual alternativa representa o intervalo de validade da solução de um problema de valor inicial dado por uma equação diferencial. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de Equações Diferenciais Ordinárias e Intervalos de Validade de Soluções. Vamos precisar separar as variáveis e integrar para encontrar a solução, além de analisar onde essa solução é válida.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a equação diferencial:
E a condição inicial:
Nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar em função de e então determinar onde essa solução é válida.

Passo 3

Vamos começar separando as variáveis para facilitar a integração. Isso significa colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro:

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados:
Resolvendo as integrais:
Simplificando:

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante . Sabemos que quando , :
Calculando cada termo:

Passo 6

Agora substituímos na equação geral:
Essa é a nossa solução implícita.

Passo 7

Para determinar o intervalo de validade, precisamos identificar onde a solução é contínua e diferenciável, ou seja, onde o denominador da equação diferencial não é zero e a solução existe. Observando o denominador , vemos que ele se anula quando ou . Nossa condição inicial é , que está entre e . Portanto, a solução será válida até que alcance esses valores problemáticos.

Passo 8

A partir da solução implícita, podemos analisar que o intervalo de onde a solução é válida é limitado pelas raízes que aparecem quando se aproxima de ou . Calculando esses limites e considerando a condição inicial, encontramos que o intervalo de validade é:
Isso significa que a solução é válida para todos os nesse intervalo.

Resposta

A alternativa correta é b) .

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