Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial dado abaixo?
Observação:
.
■
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d
|
---|---|
b
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e
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c
|
f
|
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pergunta qual alternativa representa o intervalo de validade da solução de um problema de valor inicial dado por uma equação diferencial. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de Equações Diferenciais Ordinárias e Intervalos de Validade de Soluções. Vamos precisar separar as variáveis e integrar para encontrar a solução, além de analisar onde essa solução é válida.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a equação diferencial:
E a condição inicial:
Nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar
em função de
e então determinar onde essa solução é válida.
Passo 3
Vamos começar separando as variáveis para facilitar a integração. Isso significa colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados:
Resolvendo as integrais:
Simplificando:
Passo 5
Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante
. Sabemos que quando
,
:
Calculando cada termo:
Passo 6
Agora substituímos
na equação geral:
Essa é a nossa solução implícita.
Passo 7
Para determinar o intervalo de validade, precisamos identificar onde a solução é contínua e diferenciável, ou seja, onde o denominador da equação diferencial não é zero e a solução existe. Observando o denominador
, vemos que ele se anula quando
ou
. Nossa condição inicial é
, que está entre
e
. Portanto, a solução será válida até que
alcance esses valores problemáticos.
Passo 8
A partir da solução implícita, podemos analisar que o intervalo de
onde a solução é válida é limitado pelas raízes que aparecem quando
se aproxima de
ou
. Calculando esses limites e considerando a condição inicial, encontramos que o intervalo de validade é:
Isso significa que a solução é válida para todos os
nesse intervalo.
Resposta
A alternativa correta é b)
.