Calcule as integrais usando coordenadas esféricas:
, onde
é a esfera unitária.
Passo 1
Beleza, então a gente tem que calcular uma integral tripla usando coordenadas esféricas:
, onde
é a esfera unitária. Isso envolve geometria analítica e cálculo de integrais em coordenadas esféricas. Vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para esféricas e como configurar a integral na nova coordenada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas. Nessa coordenada, qualquer ponto no espaço é descrito por três valores: a distância do ponto até a origem, que chamamos de
, o ângulo com o eixo
, que é
, e o ângulo no plano
, que é
.
A relação entre as coordenadas cartesianas
e esféricas
é dada por:
Passo 3
Agora, vamos transformar a função que está na integral para coordenadas esféricas. A função é
. Notamos que:
Então, a função fica:
Passo 4
Também precisamos lembrar o elemento de volume em coordenadas esféricas, que é:
Então, nossa integral passa a ser:
Passo 5
Vamos definir os limites de integração para a esfera unitária. Como
é a esfera de raio 1:
-
varia de a -
varia de a -
varia de a
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral por partes, começando pela integral em
:
Passo 7
Agora, a integral em
:
Passo 8
E por último, a integral em
:
Resposta
Multiplicando todas as partes, a integral total é:
Então, o valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial dado abaixo?
Observação:
.
■
|
d
|
---|---|
b
|
e
|
c
|
f
|
Qual das alternativas representa a solução do problema de valor inicial dado a seguir?
Calcule as integrais usando coordenadas esféricas:
Use coordenadas esféricas para encontrar o volume dos seguintes sólidos: O sólido limitado pela esfera
e pelo hemisfério
.