Calcule as integrais usando coordenadas esféricas: integral triplaE(x^2+y^2+z^2)^5 / 2 d V, onde E é a esfera unitária.

Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular uma integral tripla usando coordenadas esféricas: integral triplaE(x^2+y^2+z^2)^5 / 2 d V, onde E é a esfera unitária. Isso envolve geometria analítica e cálculo de integrais em coordenadas esféricas. Vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para esféricas e como configurar a integral na nova coordenada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas. Nessa coordenada, qualquer ponto no espaço é descrito por três valores: a distância do ponto até a origem, que chamamos de rho, o ângulo com o eixo z, que é phi, e o ângulo no plano xy, que é theta.
A relação entre as coordenadas cartesianas (x, y, z) e esféricas (rho, theta, phi) é dada por:
x = rho sinphi costheta
y = rho sinphi sintheta
z = rho cosphi

Passo 3

Agora, vamos transformar a função que está na integral para coordenadas esféricas. A função é (x^2+y^2+z^2)^5 / 2. Notamos que:
x^2+y^2+z^2 = rho^2
Então, a função fica:
(rho^2)^5/2 = rho^5

Passo 4

Também precisamos lembrar o elemento de volume em coordenadas esféricas, que é:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Então, nossa integral passa a ser:
integral triplaE rho^5 cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta = integral triplaE rho^7 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 5

Vamos definir os limites de integração para a esfera unitária. Como E é a esfera de raio 1:
  • rho varia de 0 a 1
  • phi varia de 0 a pi
  • theta varia de 0 a 2pi
Então, a integral fica:
integral0^2pi integral0^pi integral0^1 rho^7 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral por partes, começando pela integral em rho:
integral0^1 rho^7 , drho = [rho^88]0^1 = 18

Passo 7

Agora, a integral em phi:
integral0^pi sinphi , dphi = [-cosphi]0^pi = -cospi + cos0 = -(-1) + 1 = 2

Passo 8

E por último, a integral em theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi

Resposta

Multiplicando todas as partes, a integral total é:
18 times 2 times 2pi = 4pi8 = pi2
Então, o valor da integral é pi2.

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