Calcule as integrais usando coordenadas esféricas: integral0^1 integral0^raiz1-x^2 integral-raizx^2+y^2^raiz2-x^2-y^2 x y d z d y d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma integral tripla em coordenadas cartesianas que envolve as variáveis , e . O objetivo é calcular essa integral usando coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos precisar entender a conversão de coordenadas cartesianas para esféricas, o que envolve mudar as variáveis e ajustar os limites de integração.

Passo 2

Vamos começar lembrando como as coordenadas esféricas se relacionam com as cartesianas:
x = rho sinphi costheta
y = rho sinphi sintheta
z = rho cosphi
Além disso, o elemento de volume dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta em coordenadas esféricas é dado por:
x y = rho^2 sin^2phi costheta sintheta
Nesse problema, nosso integrando é , que em coordenadas esféricas fica:

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de integração em coordenadas esféricas. Observando os limites de de 0 a 1, de de 0 a e de de a , percebemos que estamos integrando sobre uma região específica no espaço que pode ser descrita de forma mais simples em coordenadas esféricas.

Passo 4

Para simplificar os limites, notamos que as restrições envolvem esferas e semiesferas. Em coordenadas esféricas, podemos determinar que varia de 0 a , varia de 0 a (já que é positivo e negativo simetricamente), e varia de 0 a para cobrir e positivos.

Passo 5

Substituindo tudo na integral, temos:
integral0^pi/2 integral0^pi/2 integral0^raiz2 rho^2 sin^2phi costheta sintheta cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Simplificando, a integral fica:
integral0^pi/2 integral0^pi/2 integral0^raiz2 rho^4 sin^3phi costheta sintheta , drho , dphi , dtheta

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral em ordem. Primeiro, em relação a integral0^raiz2 rho^4 , drho = [ rho^55 ]0^raiz2 = (raiz2)^55 = 4raiz25 :

Passo 7

Em seguida, a integral em relação a integral0^pi/2 costheta sintheta , dtheta = [ sin^2theta2 ]0^pi/2 = 12 :

Passo 8

Por último, a integral em relação a integral0^pi/2 sin^3phi , dphi :
integral sin^n phi , dphi = raizpi , Gamma(n+12)2 Gamma(n2 + 1)
Sabemos que:
integral0^pi/2 sin^3phi , dphi = 23
Para :

Passo 9

Agora, multiplicamos os resultados das integrais:
4raiz25 times 12 times 23 = 4raiz215

Resposta

O valor da integral é .

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