Calcule as integrais usando coordenadas esféricas:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma integral tripla em coordenadas cartesianas que envolve as variáveis
,
e
. O objetivo é calcular essa integral usando coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos precisar entender a conversão de coordenadas cartesianas para esféricas, o que envolve mudar as variáveis e ajustar os limites de integração.
Passo 2
Vamos começar lembrando como as coordenadas esféricas se relacionam com as cartesianas:
Além disso, o elemento de volume
em coordenadas esféricas é dado por:
Nesse problema, nosso integrando é
, que em coordenadas esféricas fica:
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites de integração em coordenadas esféricas. Observando os limites de
de 0 a 1, de
de 0 a
e de
de
a
, percebemos que estamos integrando sobre uma região específica no espaço que pode ser descrita de forma mais simples em coordenadas esféricas.
Passo 4
Para simplificar os limites, notamos que as restrições envolvem esferas e semiesferas. Em coordenadas esféricas, podemos determinar que
varia de 0 a
,
varia de 0 a
(já que
é positivo e negativo simetricamente), e
varia de 0 a
para cobrir
e
positivos.
Passo 5
Substituindo tudo na integral, temos:
Simplificando, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral em ordem. Primeiro, em relação a
:
Passo 7
Em seguida, a integral em relação a
:
Passo 8
Por último, a integral em relação a
:
Sabemos que:
Para
:
Passo 9
Agora, multiplicamos os resultados das integrais:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais usando coordenadas esféricas:
, onde
é a esfera unitária.
Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial dado abaixo?
Observação:
.
■
|
d
|
---|---|
b
|
e
|
c
|
f
|
Use coordenadas esféricas para encontrar o volume dos seguintes sólidos: O sólido limitado pela esfera
e pelo hemisfério
.
Calcule as integrais usando coordenadas esféricas:
, onde
é a região entre as esferas de raios 1 e 2