Considere a solução do problema de valor inicial
Podemos afirmar que:
Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então
, quando
cresce.
b Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
ou
, então
, quando
cresce.
c Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
.
d
, então a solução se aproxima de 0 , quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então
, quando
cresce.
e Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então a solução se aproxima de 0 , quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então
, quando
cresce.
f Se
, então
, quando
cresce. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
.
Se
b Se
c Se
d
e Se
f Se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de valor inicial:
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais autônomas e análise de estabilidade dos pontos de equilíbrio. Precisamos identificar os pontos onde
e ver para onde as soluções se dirigem conforme
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio da equação, ou seja, os valores de
que fazem
. Vamos igualar a equação a zero:
Isso nos dá três fatores:
Vamos resolver cada um deles.
Passo 3
Resolvendo a terceira equação:
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara:
Então, temos que
é uma raiz dupla.
Portanto, os pontos de equilíbrio são:
Passo 4
Agora, vamos analisar a estabilidade desses pontos. Para isso, vamos observar o sinal de
em torno de cada ponto de equilíbrio.
-
Para
: - Todos os fatores:
(negativo), (positivo), (positivo, já que é uma soma de quadrados). - Então, $\frac{dy}{dt} = $ negativo.
- Todos os fatores:
-
Para
: -
(negativo), (negativo), (positivo). - Dois negativos multiplicados dão positivo, então $\frac{dy}{dt} = $ positivo.
-
-
Para
: -
(positivo), (negativo), (positivo). - Um positivo e um negativo multiplicados dão negativo, então $\frac{dy}{dt} = $ negativo.
-
-
Para
: -
(positivo), (negativo), (positivo). - Mesmo que
, o termo ainda é positivo. - Então, $\frac{dy}{dt} = $ negativo.
-
Passo 5
Com base nisso, podemos deduzir o comportamento das soluções conforme
:
-
Se
ou : é negativo, então tende a ou dependendo do lado. -
Se
: é positivo, então aumenta até se aproximar de . -
Se
: é negativo, então diminui até se aproximar de . -
Se
, ou : São soluções estacionárias.
Passo 6
Comparando com as alternativas fornecidas:
- A alternativa b descreve corretamente o comportamento:
- Se
: Solução se aproxima de . - Se
: Solução se aproxima de . - Se
ou : .
- Se
Resposta
A alternativa b está correta.
Exercícios relacionados
Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial
Observação:
.
Qual das alternativas representa a solução geral da equação diferencial
d]
b
e)
[]
f
Qual das alternativas representa a solução geral da equação diferencial
d
b
(e)
c
f]
Considere a solução do problema de valor inicial
Podemos afirmar que:
Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então
, quando
cresce.
b Se , então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
ou
, então
, quando
cresce.
c Se , então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
.
d , então a solução se aproxima de 0 , quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então
, quando
cresce.
e Se , então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então a solução se aproxima de 0 , quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então
, quando
cresce.
f Se , então
, quando
cresce. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
.
b Se
c Se
d
e Se
f Se