Qual das alternativas representa todos os pontos
para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial
; tem uma única solução?
a
ou
d
.
b)
ou
e)
.
c nenhuma das demais alternativas
f
ou
.
a
d
b)
e)
c nenhuma das demais alternativas
f
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial dado pela equação diferencial:
Queremos descobrir para quais pontos
esse problema possui uma única solução. Para isso, precisamos analisar as condições que garantem a unicidade da solução para equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Picard-Lindelöf, que nos diz que, se a função
e sua derivada parcial em relação a
forem contínuas em uma região ao redor do ponto
, então existe uma única solução para o problema de valor inicial.
Passo 3
Vamos analisar quando a função
é contínua e diferenciável. A função está definida apenas quando o que está dentro da raiz é não negativo:
Além disso, para que a derivada parcial em relação a
seja contínua, precisamos que:
Esta derivada existe e é contínua somente quando
. Se
, a derivada se torna indefinida.
Passo 4
Portanto, para garantir que tanto
quanto sua derivada parcial em relação a
sejam contínuas, devemos ter:
Isso significa que o ponto
deve satisfazer:
Resposta
A alternativa que representa todos os pontos
para os quais o problema de valor inicial possui uma única solução é:
f)
ou
.
Exercícios relacionados
Em um sistema de coordenadas cilindricas, formular usando apenas a definição estrutural do sistema cilíndrico, o seguinte:
(b) A equação de uma superfície esférica centrada em e raio
.
(b) A equação de uma superfície esférica centrada em
Em um sistema de coordenadas polares, formular usando apenas a definição estrutural do sistema polar, o seguinte:
(b) A equação de uma reta que passa por e forma um ângulo positivo
com o eixo polar.
(b) A equação de uma reta que passa por
Em um sistema de coordenadas esféricas, formular usando apenas a definição estrutural do sistema esférico, o seguinte:
(b) A equação da superfície esférica centrada em e tem raio
.
(b) A equação da superfície esférica centrada em
Sobre a equação
; é afirmar que:
a Eौa é exata e é uma solução.
b nenhuma das demais alternativas
c] Ela não é exata, mas é uma solução.
Ela não é exata, mas é uma solução.
e. Eláé exata e é uma solução
a Eौa é exata e
b nenhuma das demais alternativas
c] Ela não é exata, mas
Ela não é exata, mas
e. Eláé exata e