Qual das alternativas representa todos os pontos para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial ; tem uma única solução?
a ou
d .
b) ou
e) .
c nenhuma das demais alternativas
f ou .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial dado pela equação diferencial:
Queremos descobrir para quais pontos esse problema possui uma única solução. Para isso, precisamos analisar as condições que garantem a unicidade da solução para equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Picard-Lindelöf, que nos diz que, se a função e sua derivada parcial em relação a forem contínuas em uma região ao redor do ponto , então existe uma única solução para o problema de valor inicial.

Passo 3

Vamos analisar quando a função é contínua e diferenciável. A função está definida apenas quando o que está dentro da raiz é não negativo:
Além disso, para que a derivada parcial em relação a seja contínua, precisamos que:
Esta derivada existe e é contínua somente quando . Se , a derivada se torna indefinida.

Passo 4

Portanto, para garantir que tanto quanto sua derivada parcial em relação a sejam contínuas, devemos ter:
Isso significa que o ponto deve satisfazer:

Resposta

A alternativa que representa todos os pontos para os quais o problema de valor inicial possui uma única solução é:
f) ou .

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Em um sistema de coordenadas cilindricas, formular usando apenas a definição estrutural do sistema cilíndrico, o seguinte:
(b) A equação de uma superfície esférica centrada em e raio .
Em um sistema de coordenadas polares, formular usando apenas a definição estrutural do sistema polar, o seguinte:
(b) A equação de uma reta que passa por e forma um ângulo positivo com o eixo polar.
Em um sistema de coordenadas esféricas, formular usando apenas a definição estrutural do sistema esférico, o seguinte:
(b) A equação da superfície esférica centrada em e tem raio .
Sobre a equação ; é afirmar que:
a Eौa é exata e é uma solução.
b nenhuma das demais alternativas
c] Ela não é exata, mas é uma solução.
Ela não é exata, mas é uma solução.
e. Eláé exata e é uma solução