Qual das alternativas representa todos os pontos (x0, y0) para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial dy/dx = raiz(x^2 - y^2), y(x0) = y0; tem uma única solução?
a y0 > |x0| ou y0 < -|x0|
d x0 ≥ y0.
b) x0 ≥ |y0| ou x0 <= -|y0|
e) x0 > |y0|.
c nenhuma das demais alternativas
f x0 > |y0| ou x0 < -|y0|.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial dado pela equação diferencial:
Queremos descobrir para quais pontos esse problema possui uma única solução. Para isso, precisamos analisar as condições que garantem a unicidade da solução para equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Picard-Lindelöf, que nos diz que, se a função e sua derivada parcial em relação a forem contínuas em uma região ao redor do ponto , então existe uma única solução para o problema de valor inicial.

Passo 3

Vamos analisar quando a função é contínua e diferenciável. A função está definida apenas quando o que está dentro da raiz é não negativo:
Além disso, para que a derivada parcial em relação a seja contínua, precisamos que:
Esta derivada existe e é contínua somente quando . Se , a derivada se torna indefinida.

Passo 4

Portanto, para garantir que tanto quanto sua derivada parcial em relação a sejam contínuas, devemos ter:
Isso significa que o ponto deve satisfazer:

Resposta

A alternativa que representa todos os pontos para os quais o problema de valor inicial possui uma única solução é:
f) ou .

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