Em um sistema de coordenadas esféricas, formular usando apenas a definição estrutural do sistema esférico, o seguinte:
(b) A equação da superfície esférica centrada em e tem raio .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a equação de uma superfície esférica no sistema de coordenadas esféricas. Especificamente, essa esfera está centrada em um ponto e tem raio . Para resolver isso, vamos usar a definição do sistema de coordenadas esféricas e a fórmula da distância entre dois pontos no espaço.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que em coordenadas esféricas, a posição de um ponto é definida por três parâmetros:
  • : a distância até a origem.
  • : o ângulo polar, medindo a inclinação em relação ao eixo vertical.
  • : o ângulo azimutal, medindo a rotação em torno do eixo vertical.
Para encontrar a equação da esfera, precisamos calcular a distância entre um ponto qualquer e o centro da esfera e igualar essa distância ao raio .

Passo 3

A fórmula da distância entre dois pontos no sistema de coordenadas esféricas é um pouco mais complexa do que no sistema cartesiano. Ela é dada por:
Aqui, representa a distância entre e .

Passo 4

Como estamos falando da superfície da esfera, essa distância deve ser igual ao raio . Então, vamos igualar a fórmula da distância a :

Passo 5

Para simplificar, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados da equação ao quadrado:

Passo 6

Agora, vamos reorganizar a equação para deixá-la mais arrumada:

Resposta

A equação da superfície esférica centrada em com raio no sistema de coordenadas esféricas é:

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Qual das alternativas representa todos os pontos para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial ; tem uma única solução?
a ou
d .
b) ou
e) .
c nenhuma das demais alternativas
f ou .
Em um sistema de coordenadas cilindricas, formular usando apenas a definição estrutural do sistema cilíndrico, o seguinte:
(b) A equação de uma superfície esférica centrada em e raio .
Sobre a equação ; é afirmar que:
a Eौa é exata e é uma solução.
b nenhuma das demais alternativas
c] Ela não é exata, mas é uma solução.
Ela não é exata, mas é uma solução.
e. Eláé exata e é uma solução
Determinar a evolvente de um círculo de raio .