Em um sistema de coordenadas esféricas, formular usando apenas a definição estrutural do sistema esférico, o seguinte:
(b) A equação da superfície esférica centrada em
e tem raio
.
(b) A equação da superfície esférica centrada em
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a equação de uma superfície esférica no sistema de coordenadas esféricas. Especificamente, essa esfera está centrada em um ponto
e tem raio
. Para resolver isso, vamos usar a definição do sistema de coordenadas esféricas e a fórmula da distância entre dois pontos no espaço.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que em coordenadas esféricas, a posição de um ponto é definida por três parâmetros:
-
: a distância até a origem. -
: o ângulo polar, medindo a inclinação em relação ao eixo vertical. -
: o ângulo azimutal, medindo a rotação em torno do eixo vertical.
Para encontrar a equação da esfera, precisamos calcular a distância entre um ponto qualquer
e o centro da esfera
e igualar essa distância ao raio
.
Passo 3
A fórmula da distância entre dois pontos no sistema de coordenadas esféricas é um pouco mais complexa do que no sistema cartesiano. Ela é dada por:
Aqui,
representa a distância entre
e
.
Passo 4
Como estamos falando da superfície da esfera, essa distância
deve ser igual ao raio
. Então, vamos igualar a fórmula da distância a
:
Passo 5
Para simplificar, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados da equação ao quadrado:
Passo 6
Agora, vamos reorganizar a equação para deixá-la mais arrumada:
Resposta
A equação da superfície esférica centrada em
com raio
no sistema de coordenadas esféricas é: