Em um sistema de coordenadas cilindricas, formular usando apenas a definição estrutural do sistema cilíndrico, o seguinte:
(b) A equação de uma superfície esférica centrada em O = (0, 0, 0) e raio a.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede pra gente encontrar a equação de uma esfera centrada na origem (0, 0, 0) com raio a, mas usando só as coordenadas cilíndricas. Então, vamos precisar entender o que são coordenadas cilíndricas e como elas se relacionam com as coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, lembra como funcionam as coordenadas cilíndricas? Elas são representadas por (r, theta, z), onde:
  • r é a distância do ponto até o eixo z (é como o raio no plano xy),
  • theta é o ângulo que a projeção do ponto no plano xy faz com o eixo x,
  • z é a altura do ponto, igual à coordenada z nas coordenadas cartesianas.
As coordenadas cartesianas (x, y, z) estão relacionadas às cilíndricas assim:

Passo 3

Sabemos que a equação de uma esfera no sistema cartesiano é:
Agora, vamos substituir x e y pelas expressões em coordenadas cilíndricas:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:

Resposta

A equação da superfície esférica em coordenadas cilíndricas é:

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