Em um sistema de coordenadas cilindricas, formular usando apenas a definição estrutural do sistema cilíndrico, o seguinte:
(b) A equação de uma superfície esférica centrada em e raio .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede pra gente encontrar a equação de uma esfera centrada na origem com raio , mas usando só as coordenadas cilíndricas. Então, vamos precisar entender o que são coordenadas cilíndricas e como elas se relacionam com as coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, lembra como funcionam as coordenadas cilíndricas? Elas são representadas por , onde:
  • é a distância do ponto até o eixo (é como o raio no plano ),
  • é o ângulo que a projeção do ponto no plano faz com o eixo ,
  • é a altura do ponto, igual à coordenada nas coordenadas cartesianas.
As coordenadas cartesianas estão relacionadas às cilíndricas assim:

Passo 3

Sabemos que a equação de uma esfera no sistema cartesiano é:
Agora, vamos substituir e pelas expressões em coordenadas cilíndricas:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:

Resposta

A equação da superfície esférica em coordenadas cilíndricas é:

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Em um sistema de coordenadas polares, formular usando apenas a definição estrutural do sistema polar, o seguinte:
(b) A equação de uma reta que passa por e forma um ângulo positivo com o eixo polar.
Considere uma ciclóide gerada por um cículo de raio e determine a sua evoluta.
Qual das alternativas representa todos os pontos para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial ; tem uma única solução?
a ou
d .
b) ou
e) .
c nenhuma das demais alternativas
f ou .
Em um sistema de coordenadas esféricas, formular usando apenas a definição estrutural do sistema esférico, o seguinte:
(b) A equação da superfície esférica centrada em e tem raio .