Sobre a equação ; é afirmar que:
a Eौa é exata e é uma solução.
b nenhuma das demais alternativas
c] Ela não é exata, mas é uma solução.
Ela não é exata, mas é uma solução.
e. Eláé exata e é uma solução

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício que envolve equações diferenciais exatas. A questão apresenta uma equação diferencial e nos pergunta se ela é exata, além de verificar qual das opções apresenta uma solução correta para ela. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial exata e como determinar se uma equação dada é exata ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma equação diferencial exata. Uma equação na forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja, precisamos verificar se:
Vamos identificar e na equação dada:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Comparando as duas derivadas:
Vemos que:
Isso significa que a equação dada é exata.

Passo 6

Como a equação é exata, podemos encontrar uma função potencial tal que:
Vamos integrar em relação a :
Onde é uma função de que surge da integração.

Passo 7

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Isso implica que:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Portanto, a função potencial é:
Para encontrar a solução geral, igualamos a uma constante:
Podemos reescrever isso como:

Resposta

A alternativa e. Ela é exata e é uma solução correta.

Exercícios relacionados

Em um sistema de coordenadas esféricas, formular usando apenas a definição estrutural do sistema esférico, o seguinte:
(b) A equação da superfície esférica centrada em e tem raio .
Qual das alternativas representa todos os pontos para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial ; tem uma única solução?
a ou
d .
b) ou
e) .
c nenhuma das demais alternativas
f ou .
Determinar a evolvente de um círculo de raio .
Dado um campo vetorial contínuo
uma curva diferenciável
tais que
é chamada de uma curva integral do campo . Também chamamos de uma linha de ação ou uma linha de fluxo do campo .
Determinar a família de curvas integrais de cada campo vetorial seguinte, identificando a categoria geométrica delas e fazendo um esboço da família de soluções:
(b) .