Sobre a equação
; é afirmar que:
a Eौa é exata e
é uma solução.
b nenhuma das demais alternativas
c] Ela não é exata, mas
é uma solução.
Ela não é exata, mas
é uma solução.
e. Eláé exata e
é uma solução
a Eौa é exata e
b nenhuma das demais alternativas
c] Ela não é exata, mas
Ela não é exata, mas
e. Eláé exata e
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício que envolve equações diferenciais exatas. A questão apresenta uma equação diferencial e nos pergunta se ela é exata, além de verificar qual das opções apresenta uma solução correta para ela. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial exata e como determinar se uma equação dada é exata ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma equação diferencial exata. Uma equação na forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja, precisamos verificar se:
Vamos identificar
e
na equação dada:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Comparando as duas derivadas:
Vemos que:
Isso significa que a equação dada é exata.
Passo 6
Como a equação é exata, podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Onde
é uma função de
que surge da integração.
Passo 7
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Isso implica que:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Portanto, a função potencial
é:
Para encontrar a solução geral, igualamos
a uma constante:
Podemos reescrever isso como:
Resposta
A alternativa e. Ela é exata e
é uma solução correta.
Exercícios relacionados
Em um sistema de coordenadas esféricas, formular usando apenas a definição estrutural do sistema esférico, o seguinte:
(b) A equação da superfície esférica centrada em e tem raio
.
(b) A equação da superfície esférica centrada em
Qual das alternativas representa todos os pontos
para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial
; tem uma única solução?
a ou
d .
b) ou
e) .
c nenhuma das demais alternativas
f ou
.
a
d
b)
e)
c nenhuma das demais alternativas
f
Determinar a evolvente de um círculo de raio
.
Dado um campo vetorial contínuo
uma curva diferenciável
tais que
é chamada de uma curva integral do campo
. Também chamamos de uma linha de ação ou uma linha de fluxo do campo
.
Determinar a família de curvas integrais de cada campo vetorial seguinte, identificando a categoria geométrica delas e fazendo um esboço da família de soluções:
(b) .
Determinar a família de curvas integrais de cada campo vetorial seguinte, identificando a categoria geométrica delas e fazendo um esboço da família de soluções:
(b)