Sobre a equação (e^(2y) - y cos(xy)) dx + (2x e^(2y) - x cos(xy) - 2y) dy = 0; é afirmar que:
a Eौa é exata e x e^(2 y) - sen(x y) + y^(2) - 1 = 0 é uma solução.
b nenhuma das demais alternativas
c] Ela não é exata, mas x e^(2 y) - sen(x y) + y^(2) - 1 = 0 é uma solução.
Ela não é exata, mas x e^(2 y) + cos(x y) + y^2 - 1 = 0 é uma solução.
e. Eláé exata e x e^(2 y) - cos(x y) + y^2 - 1 = 0 é uma solução

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício que envolve equações diferenciais exatas. A questão apresenta uma equação diferencial e nos pergunta se ela é exata, além de verificar qual das opções apresenta uma solução correta para ela. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial exata e como determinar se uma equação dada é exata ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma equação diferencial exata. Uma equação na forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja, precisamos verificar se:
Vamos identificar e na equação dada:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Comparando as duas derivadas:
Vemos que:
Isso significa que a equação dada é exata.

Passo 6

Como a equação é exata, podemos encontrar uma função potencial tal que:
Vamos integrar em relação a :
Onde é uma função de que surge da integração.

Passo 7

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Isso implica que:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Portanto, a função potencial é:
Para encontrar a solução geral, igualamos a uma constante:
Podemos reescrever isso como:

Resposta

A alternativa e. Ela é exata e é uma solução correta.

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