Um alto-falante de massa desprezível é preso a um sistema massa-mola ideal de massa
. O alto-falante emite som na frequência
e o sistema massa-mola oscila com amplitude
. Sabendo que a velocidade do som no ar é
e que diferença entre a maior e a menor frequência, proveniente do alto-falante, ouvida por um receptor em repouso é
, calcule a constante elástica da mola?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sistema massa-mola onde um alto-falante está preso a uma mola ideal. O alto-falante vibra com uma certa frequência
e faz a mola oscilar com amplitude
. A gente sabe a velocidade do som no ar
e a diferença entre as maiores e menores frequências percebidas
. A missão aqui é descobrir qual é a constante elástica
da mola. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física de oscilações e ondas sonoras, principalmente o efeito Doppler e as equações de movimento de um sistema massa-mola.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a frequência de oscilação de um sistema massa-mola é dada por:
Aqui,
é a frequência,
é a constante elástica da mola e
é a massa presa na mola. Nosso objetivo é encontrar
, então vamos reorganizar essa fórmula para isolá-lo:
Passo 3
Agora, precisamos conectar essa fórmula com a diferença de frequência
mencionada no problema. A diferença de frequência está relacionada ao movimento do alto-falante, que está vibrando e, portanto, gerando movimento na mola. A velocidade máxima do alto-falante
está relacionada à amplitude
e à frequência
pela fórmula:
Aqui,
é a frequência angular.
Passo 4
A diferença de frequência
percebida pelo receptor devido ao efeito Doppler é dada por:
Substituindo
da etapa anterior:
Agora, podemos resolver essa equação para
:
Passo 5
Voltando à fórmula da constante elástica que encontramos no Passo 2:
Então, a constante elástica da mola
depende diretamente da massa
e do quadrado da frequência
.
Resposta
A constante elástica da mola é dada por: