Um alto-falante de massa desprezível é preso a um sistema massa-mola ideal de massa . O alto-falante emite som na frequência e o sistema massa-mola oscila com amplitude . Sabendo que a velocidade do som no ar é e que diferença entre a maior e a menor frequência, proveniente do alto-falante, ouvida por um receptor em repouso é , calcule a constante elástica da mola?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sistema massa-mola onde um alto-falante está preso a uma mola ideal. O alto-falante vibra com uma certa frequência e faz a mola oscilar com amplitude . A gente sabe a velocidade do som no ar e a diferença entre as maiores e menores frequências percebidas . A missão aqui é descobrir qual é a constante elástica da mola. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física de oscilações e ondas sonoras, principalmente o efeito Doppler e as equações de movimento de um sistema massa-mola.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a frequência de oscilação de um sistema massa-mola é dada por:
Aqui, é a frequência, é a constante elástica da mola e é a massa presa na mola. Nosso objetivo é encontrar , então vamos reorganizar essa fórmula para isolá-lo:

Passo 3

Agora, precisamos conectar essa fórmula com a diferença de frequência mencionada no problema. A diferença de frequência está relacionada ao movimento do alto-falante, que está vibrando e, portanto, gerando movimento na mola. A velocidade máxima do alto-falante está relacionada à amplitude e à frequência pela fórmula:
Aqui, é a frequência angular.

Passo 4

A diferença de frequência percebida pelo receptor devido ao efeito Doppler é dada por:
Substituindo da etapa anterior:
Agora, podemos resolver essa equação para :

Passo 5

Voltando à fórmula da constante elástica que encontramos no Passo 2:
Então, a constante elástica da mola depende diretamente da massa e do quadrado da frequência .

Resposta

A constante elástica da mola é dada por:

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