Dois alto-falantes estão separados por uma distância de em um palco ao ar livre. Um ouvinte está a 18,3 m de um dos alto-falantes e a do outro alto-falante. Durante o teste do som, um gerador de sinais alimenta os dois alto-falantes em fase com um sinal de mesma amplitude e frequência. A frequência transmitida varia ao longo de toda a faixa audível (20 Hz a 20 kHz). (a) Qual é a menor frequência, , para a qual a intensidade do sinal é mínima (interferência destrutiva) na posição do ouvinte? Por qual número devemos multiplicar í para obtermos (b) a segunda menor frequência, , para a qual o sinal é mínimo e © a terceira menor frequência, á, para a qual o sinal é máximo (interferência construtiva) na posição do ouvinte?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois alto-falantes separados por 3,35 metros e um ouvinte que está a 18,3 metros de um e a 19,5 metros do outro. Ambos os alto-falantes estão emitindo ondas sonoras na mesma frequência e em fase. Queremos descobrir:
a) A menor frequência que causa interferência destrutiva no ouvido do ouvinte.
b) Por quanto multiplicar essa frequência para encontrar a segunda menor frequência que também causa interferência destrutiva.
c) A terceira menor frequência que causa interferência construtiva no ouvido do ouvinte.
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de interferência de ondas sonoras, especificamente interferência construtiva e destrutiva, e como a diferença de caminho das ondas afeta isso.

Passo 2

Vamos começar calculando a diferença de caminho que as ondas percorrem até o ouvido do ouvinte. Isso significa que vamos subtrair uma distância da outra.
Diferença de caminho, Δd = |19,5 m - 18,3 m| = 1,2 m

Passo 3

Agora, sabemos que para interferência construtiva (máxima), o caminho das ondas deve diferir por um múltiplo inteiro do comprimento de onda (λ), ou seja:
Δd = mλ, onde m é um número inteiro (0, 1, 2, …)
Para interferência destrutiva (mínima), o caminho deve diferir por meio múltiplos do comprimento de onda, ou seja:
Δd = (m + ½)λ

Passo 4

Queremos encontrar a menor frequência que causa interferência destrutiva. Vamos usar a segunda equação:
Δd = (m + ½)λ
Como queremos a menor frequência, escolhemos m = 0:
1,2 m = (0 + ½)λ → λ = 2,4 m

Passo 5

Sabemos que a velocidade do som no ar é aproximadamente 343 m/s. A relação entre velocidade (v), frequência (f) e comprimento de onda (λ) é dada por:
v = fλ
Queremos encontrar a frequência mínima (f_min), então rearranjamos a fórmula:
f_min = v / λ = 343 m/s / 2,4 m ≈ 142,92 Hz

Passo 6

Para encontrar a segunda menor frequência que causa interferência destrutiva, usamos m = 1 na equação da interferência destrutiva:
1,2 m = (1 + ½)λ → 1,2 m = 1,5λ → λ = 0,8 m
Calculamos a frequência correspondente:
f_min,2 = 343 m/s / 0,8 m ≈ 428,75 Hz
Observamos que f_min,2 ≈ 3 × f_min (428,75 ≈ 3 × 142,92)

Passo 7

Para encontrar a terceira menor frequência que causa interferência construtiva, usamos a equação da interferência construtiva:
Δd = mλ
Como queremos a terceira menor frequência, escolhemos m = 3:
1,2 m = 3λ → λ = 0,4 m
Calculamos a frequência correspondente:
f_max,1 = 343 m/s / 0,4 m = 857,5 Hz

Resposta

a) A menor frequência que causa interferência destrutiva é aproximadamente 142,92 Hz.
b) A segunda menor frequência destrutiva é o 3 vezes essa frequência, ou seja, 428,75 Hz.
c) A terceira menor frequência construtiva é 857,5 Hz.

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