Um morcego voa na direção de uma parede, com vetor velocidade constante e perpendicular ao plano da parede. Ele emite um sinal sonoro de frequência 9.000 Hz e ouve este mesmo sinal, após ser refletido pela parede, com frequência de 11.000 Hz . O morcego sabe que a velocidade do som no ar possui magnitude de 300 m / s. Calcule a distância que o morcego está da parede, sabendo que o intervalo entre a emissão e a recepção do sinal foi de 1 / 3 s.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Um morcego voa em direção a uma parede com velocidade constante e emite um sinal sonoro de frequência de 9.000 Hz. Esse sinal é refletido pela parede e volta para o morcego com uma frequência de 11.000 Hz. Sabemos que a velocidade do som no ar é de e o tempo entre a emissão e a recepção do sinal é de segundos. Nosso objetivo é calcular a distância que o morcego está da parede.
Para resolver isso, vamos precisar entender o Efeito Doppler, que descreve como a frequência do som muda quando há movimento relativo entre a fonte e o observador. Vamos usar as fórmulas do Efeito Doppler para fontes em movimento em relação a um refletor (no caso, a parede).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do Efeito Doppler para uma fonte que se move em direção a um observador estático:
f' = f ( v + vov )
Onde:
  • é a frequência percebida
  • é a frequência emitida
  • é a velocidade do som
  • é a velocidade do observador em relação ao meio
No nosso caso, o morcego está emitindo o som e também agindo como o observador após a reflexão. Então, precisamos considerar duas etapas: a ida do som até a parede e a volta do som até o morcego.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a velocidade efetiva percebida pela parede. Como a parede está parada, a frequência que a parede “ouve” é aumentada pela aproximação do morcego:
f1 = f ( vv - vm )
Onde f2 = f1 ( v + vmv ) é a frequência refletida pela parede e é a velocidade do morcego.
Depois, essa frequência refletida é a nova fonte para o morcego, que agora está se movendo em direção a essa fonte. Então, a frequência que o morcego ouve será:

Passo 4

Sabemos que f2 = ( f ( vv - vm ) ) ( v + vmv ) e f2 = f ( v + vmv - vm ) . Vamos substituir na segunda equação:
Simplificando:

Passo 5

Agora, podemos isolar f2f = v + vmv - vm (a velocidade do morcego):
f2f (v - vm) = v + vm
Multiplicando ambos os lados por f2f v - f2f vm = v + vm :
f2f v - v = vm ( f2f + 1 )
Expandindo:
vm = v ( f2f - 1 )f2f + 1
Reagrupando os termos com :
Isolando :

Passo 6

Substituindo os valores:
vm = 300 ( 110009000 - 1 )110009000 + 1 = 300 ( 20009000 )200009000 = 300 times 29209 = 6009209 = 60020 = 30 , m/s

Passo 7

Agora que temos a velocidade do morcego ( d = vm times t = 30 times 13 = 10 , m ) e o tempo total entre a emissão e a recepção do sinal ( ), podemos calcular a distância até a parede.
Como o morcego está se movendo em direção à parede com velocidade constante, a distância percorrida por ele durante esse tempo é:

Resposta

A distância que o morcego está da parede é de 10 metros.

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