A altura de uma bola,
segundos após o lançamento, é dada por
.
Em que instante a velocidade instantânea é igual à velocidade média acima? Enuncie o teorema que nos garante isso.
Em que instante a velocidade instantânea é igual à velocidade média acima? Enuncie o teorema que nos garante isso.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função que representa a altura de uma bola no tempo, dada por
. O conteúdo envolve cálculo, especificamente derivadas e o Teorema do Valor Médio. Precisaremos calcular a velocidade média e a velocidade instantânea para comparar.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade média. A velocidade média entre dois instantes de tempo é dada pela variação da posição dividida pela variação do tempo. Vamos considerar o intervalo do lançamento até o ponto mais alto da trajetória. Para encontrar o ponto mais alto, encontramos o tempo onde a velocidade é zero.
Passo 3
Para achar o tempo no ponto mais alto, calculamos a derivada da função de posição
, que nos dá a função de velocidade
:
Igualamos a velocidade a zero para encontrar o tempo do ponto mais alto:
Passo 4
Agora, calculamos a altura nesse instante:
Passo 5
A velocidade média é a variação da altura dividida pela variação do tempo. Considerando o intervalo de
a
segundos:
Calculando
:
Então:
Passo 6
Agora, queremos saber em que instante a velocidade instantânea é igual à velocidade média de 24 m/s. Sabemos que a velocidade instantânea é dada por:
Igualamos a velocidade instantânea à velocidade média:
Passo 7
O teorema que garante que existe pelo menos um instante onde a velocidade instantânea é igual à velocidade média é o Teorema do Valor Médio. Esse teorema afirma que, para uma função contínua em um intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto, existe pelo menos um ponto onde a derivada (velocidade instantânea) é igual à média da variação sobre o intervalo (velocidade média).
Resposta
A velocidade instantânea é igual à velocidade média de 24 m/s no instante de
segundos. O teorema que nos garante isso é o Teorema do Valor Médio.
Exercícios relacionados
A altura de uma bola,
segundos após o lançamento, é dada por
.
Segundo o Teorema de Rolle, qual deve ser a velocidade da bola em algum instante do intervalo
? Enuncie o Teorema de Rolle;
Segundo o Teorema de Rolle, qual deve ser a velocidade
Seja
. Prove que, para qualquer intervalo
, o valor de
cuja existência é garantida pelo Teorema do Valor Médio (TVM), é o ponto médio do intervalo.