A altura de uma bola, segundos após o lançamento, é dada por .
Em que instante a velocidade instantânea é igual à velocidade média acima? Enuncie o teorema que nos garante isso.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função que representa a altura de uma bola no tempo, dada por . O conteúdo envolve cálculo, especificamente derivadas e o Teorema do Valor Médio. Precisaremos calcular a velocidade média e a velocidade instantânea para comparar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade média. A velocidade média entre dois instantes de tempo é dada pela variação da posição dividida pela variação do tempo. Vamos considerar o intervalo do lançamento até o ponto mais alto da trajetória. Para encontrar o ponto mais alto, encontramos o tempo onde a velocidade é zero.

Passo 3

Para achar o tempo no ponto mais alto, calculamos a derivada da função de posição , que nos dá a função de velocidade :
Igualamos a velocidade a zero para encontrar o tempo do ponto mais alto:

Passo 4

Agora, calculamos a altura nesse instante:

Passo 5

A velocidade média é a variação da altura dividida pela variação do tempo. Considerando o intervalo de a segundos:
é
Calculando :
Então:
é

Passo 6

Agora, queremos saber em que instante a velocidade instantânea é igual à velocidade média de 24 m/s. Sabemos que a velocidade instantânea é dada por:
Igualamos a velocidade instantânea à velocidade média:

Passo 7

O teorema que garante que existe pelo menos um instante onde a velocidade instantânea é igual à velocidade média é o Teorema do Valor Médio. Esse teorema afirma que, para uma função contínua em um intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto, existe pelo menos um ponto onde a derivada (velocidade instantânea) é igual à média da variação sobre o intervalo (velocidade média).

Resposta

A velocidade instantânea é igual à velocidade média de 24 m/s no instante de segundos. O teorema que nos garante isso é o Teorema do Valor Médio.

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