A altura de uma bola,
segundos após o lançamento, é dada por
.
Segundo o Teorema de Rolle, qual deve ser a velocidade
da bola em algum instante do intervalo
? Enuncie o Teorema de Rolle;
Segundo o Teorema de Rolle, qual deve ser a velocidade
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função da altura de uma bola, dada por
, onde
é o tempo em segundos após o lançamento. O exercício quer saber qual deve ser a velocidade
da bola em algum instante no intervalo de tempo
segundos, utilizando o Teorema de Rolle. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Rolle e como ele se aplica a essa situação.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o Teorema de Rolle. Esse teorema é uma ferramenta importante no cálculo diferencial. Ele diz que se uma função
satisfaz três condições específicas em um intervalo
, então existe pelo menos um ponto
dentro desse intervalo onde a derivada de
é zero, ou seja,
. As três condições são:
- Continuidade: A função
deve ser contínua em todo o intervalo fechado . - Diferenciabilidade: A função
deve ser diferenciável no intervalo aberto . - Valores iguais nos extremos: Os valores da função nos pontos
e devem ser iguais, ou seja, .
Passo 3
Vamos verificar se a função
cumpre essas condições no intervalo
:
-
Continuidade: Polinômios são funções contínuas em todo o seu domínio, então
é contínua em . -
Diferenciabilidade: Polinômios também são diferenciáveis em todo o seu domínio, então
é diferenciável em . -
Valores iguais nos extremos: Vamos calcular
e : Como, a terceira condição também é satisfeita.
Portanto, todas as condições do Teorema de Rolle estão cumpridas para a função
no intervalo
.
Passo 4
Segundo o Teorema de Rolle, como todas as condições foram satisfeitas, deve existir pelo menos um ponto
no intervalo
onde a derivada de
é zero. A derivada de
em relação a
representa a velocidade
da bola:
Agora, vamos encontrar o valor de
onde
:
Resposta
A velocidade
da bola no instante
segundos é
.