A altura de uma bola, segundos após o lançamento, é dada por .
Segundo o Teorema de Rolle, qual deve ser a velocidade da bola em algum instante do intervalo ? Enuncie o Teorema de Rolle;

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função da altura de uma bola, dada por , onde é o tempo em segundos após o lançamento. O exercício quer saber qual deve ser a velocidade da bola em algum instante no intervalo de tempo segundos, utilizando o Teorema de Rolle. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Rolle e como ele se aplica a essa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o Teorema de Rolle. Esse teorema é uma ferramenta importante no cálculo diferencial. Ele diz que se uma função satisfaz três condições específicas em um intervalo , então existe pelo menos um ponto dentro desse intervalo onde a derivada de é zero, ou seja, . As três condições são:
  1. Continuidade: A função deve ser contínua em todo o intervalo fechado .
  2. Diferenciabilidade: A função deve ser diferenciável no intervalo aberto .
  3. Valores iguais nos extremos: Os valores da função nos pontos e devem ser iguais, ou seja, .

Passo 3

Vamos verificar se a função cumpre essas condições no intervalo :
  1. Continuidade: Polinômios são funções contínuas em todo o seu domínio, então é contínua em .
  2. Diferenciabilidade: Polinômios também são diferenciáveis em todo o seu domínio, então é diferenciável em .
  3. Valores iguais nos extremos: Vamos calcular e :
    Como , a terceira condição também é satisfeita.
Portanto, todas as condições do Teorema de Rolle estão cumpridas para a função no intervalo .

Passo 4

Segundo o Teorema de Rolle, como todas as condições foram satisfeitas, deve existir pelo menos um ponto no intervalo onde a derivada de é zero. A derivada de em relação a representa a velocidade da bola:
Agora, vamos encontrar o valor de onde :

Resposta

A velocidade da bola no instante segundos é .

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Seja definida por
Dê os ponos onde é descontínua.