Seja p(x) = A x^2 + B x + C. Prove que, para qualquer intervalo [a, b], o valor de c cuja existência é garantida pelo Teorema do Valor Médio (TVM), é o ponto médio do intervalo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um polinômio quadrático e precisa provar que, para qualquer intervalo , o valor de garantido pelo Teorema do Valor Médio (TVM) é justamente o ponto médio desse intervalo. Para isso, vamos usar o TVM, que diz que se a função é contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto , então existe pelo menos um ponto onde a derivada iguala a taxa de variação média da função nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a derivada da nossa função . Como , a derivada é:

Passo 3

Agora, segundo o Teorema do Valor Médio, existe um em tal que:
Vamos calcular o lado direito dessa equação, que é a taxa de variação média da função no intervalo .

Passo 4

Calculando :
Simplificando, usando a fatoração :
Dividindo por :

Passo 5

Agora, igualamos a derivada no ponto à taxa de variação média que calculamos:
Subtraindo de ambos os lados:
Dividindo por :

Resposta

Portanto, o valor de garantido pelo Teorema do Valor Médio é o ponto médio do intervalo , ou seja:

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