Seja
. Prove que, para qualquer intervalo
, o valor de
cuja existência é garantida pelo Teorema do Valor Médio (TVM), é o ponto médio do intervalo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um polinômio quadrático
e precisa provar que, para qualquer intervalo
, o valor de
garantido pelo Teorema do Valor Médio (TVM) é justamente o ponto médio desse intervalo. Para isso, vamos usar o TVM, que diz que se a função é contínua no intervalo fechado
e diferenciável no intervalo aberto
, então existe pelo menos um ponto
onde a derivada iguala a taxa de variação média da função nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a derivada da nossa função
. Como
, a derivada é:
Passo 3
Agora, segundo o Teorema do Valor Médio, existe um
em
tal que:
Vamos calcular o lado direito dessa equação, que é a taxa de variação média da função no intervalo
.
Passo 4
Calculando
:
Simplificando, usando a fatoração
:
Dividindo por
:
Passo 5
Agora, igualamos a derivada no ponto
à taxa de variação média que calculamos:
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo por
:
Resposta
Portanto, o valor de
garantido pelo Teorema do Valor Médio é o ponto médio do intervalo
, ou seja: