Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que é definida de forma diferente em alguns pontos. Nosso objetivo é descobrir em quais pontos não é contínua, ou seja, onde ela tem “quebras” ou “saltos”. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre continuidade de funções e verificar os pontos onde a função muda de definição.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a função :
Vemos que para diferente de e , a função é uma fração polinomial. Mas nos pontos e , a função tem valores definidos de outra forma.
Passo 3
Continuity (continuidade) de uma função no ponto significa que:
A função está definida em .
O limite da função quando se aproxima de existe.
O limite é igual ao valor da função em .
Vamos verificar esses três pontos para e .
Passo 4
Para :
A função está definida em ?
Sim, .
Existe o limite quando se aproxima de ?
Vamos calcular .
Substituindo no denominador:
O denominador é zero, então precisamos fatorar para ver se há uma simplificação.
Fatorando o denominador:
E o numerador:
Simplificando a fração:
Agora, calculando o limite:
Isso indica que o limite tende a ou , ou seja, não existe um limite finito.
Conclusão para :
Como o limite não existe, não é contínua em .
Passo 5
Para :
A função está definida em ?
Sim, .
Existe o limite quando se aproxima de ?
Vamos calcular .
Já fatoramos anteriormente:
Calculando o limite:
Comparando com o valor da função em :
Conclusão para :
O limite existe e é igual ao valor da função em , então é contínua nesse ponto.