Seja definida por
Dê os ponos onde é descontínua.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que é definida de forma diferente em alguns pontos. Nosso objetivo é descobrir em quais pontos não é contínua, ou seja, onde ela tem “quebras” ou “saltos”. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre continuidade de funções e verificar os pontos onde a função muda de definição.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a função :
Vemos que para diferente de e , a função é uma fração polinomial. Mas nos pontos e , a função tem valores definidos de outra forma.

Passo 3

Continuity (continuidade) de uma função no ponto significa que:
  1. A função está definida em .
  2. O limite da função quando se aproxima de existe.
  3. O limite é igual ao valor da função em .
Vamos verificar esses três pontos para e .

Passo 4

Para :
  1. A função está definida em ?
    Sim, .
  2. Existe o limite quando se aproxima de ?
    Vamos calcular .
    Substituindo no denominador:
    O denominador é zero, então precisamos fatorar para ver se há uma simplificação.
  3. Fatorando o denominador:
    E o numerador:
    Simplificando a fração:
    Agora, calculando o limite:
    Isso indica que o limite tende a ou , ou seja, não existe um limite finito.
  4. Conclusão para :
    Como o limite não existe, não é contínua em .

Passo 5

Para :
  1. A função está definida em ?
    Sim, .
  2. Existe o limite quando se aproxima de ?
    Vamos calcular .
    Já fatoramos anteriormente:
    Calculando o limite:
  3. Comparando com o valor da função em :
  4. Conclusão para :
    O limite existe e é igual ao valor da função em , então é contínua nesse ponto.

Resposta

A função é descontínua apenas em .

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