A altura de um cone circular reto está aumentando a uma taxa de
e o raio decrescendo a uma taxa de
. Ache a taxa de variação do volume no instante em que a altura é 200 cm e o raio é 60 cm .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cone circular reto cuja altura está aumentando a uma taxa de
e o raio está diminuindo a uma taxa de
. Queremos descobrir a taxa de variação do volume desse cone no momento em que a altura é
e o raio é
.
Aqui, estamos lidando com taxas relacionadas, um conceito de cálculo que nos ajuda a encontrar a taxa de variação de uma quantidade em relação a outra quando ambas estão mudando no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual a fórmula do volume
de um cone circular reto. A fórmula é:
onde:
-
é o raio da base do cone, -
é a altura do cone, -
é uma constante aproximadamente igual a 3,1416.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar a taxa de variação do volume em relação ao tempo, ou seja,
. Para isso, vamos diferenciar a fórmula do volume em relação ao tempo
.
Aplicando a derivada, temos:
Passo 4
Ao diferenciar, precisamos aplicar a regra do produto, já que
e
são funções de
. Então, temos:
Explicando:
-
vem da derivada de em relação a , -
permanece como está, -
permanece como está, -
é a derivada da altura em relação ao tempo.
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores conhecidos na expressão:
-
, -
(negativo porque o raio está diminuindo), -
, -
.
Substituindo na fórmula:
Passo 6
Vamos calcular cada parte separadamente:
Agora, somando essas duas partes:
Passo 7
Voltando à expressão de
:
Resposta
A taxa de variação do volume no instante considerado é
. Isso significa que o volume do cone está diminuindo a uma taxa de
por minuto nesse momento.
Exercícios relacionados
Determine o volume do sólido limitado pela superfície
e pelos planos
e
.
Dado:
Dado:
Sabemos que a área
de uma região simples
pode ser obtida pela integral
Sejam
e
. Mostre que
.
Determine o volume do sólido que está dentro da esfera
, acima do plano
e abaixo do cone
.
Determine
,
e
.