A altura de um cone circular reto está aumentando a uma taxa de 40 cm / min e o raio decrescendo a uma taxa de 15 cm/min. Ache a taxa de variação do volume no instante em que a altura é 200 cm e o raio é 60 cm .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cone circular reto cuja altura está aumentando a uma taxa de e o raio está diminuindo a uma taxa de . Queremos descobrir a taxa de variação do volume desse cone no momento em que a altura é e o raio é .
Aqui, estamos lidando com taxas relacionadas, um conceito de cálculo que nos ajuda a encontrar a taxa de variação de uma quantidade em relação a outra quando ambas estão mudando no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual a fórmula do volume de um cone circular reto. A fórmula é:
onde:
  • é o raio da base do cone,
  • é a altura do cone,
  • é uma constante aproximadamente igual a 3,1416.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar a taxa de variação do volume em relação ao tempo, ou seja, . Para isso, vamos diferenciar a fórmula do volume em relação ao tempo .
Aplicando a derivada, temos:

Passo 4

Ao diferenciar, precisamos aplicar a regra do produto, já que e são funções de . Então, temos:
Explicando:
  • vem da derivada de em relação a ,
  • permanece como está,
  • permanece como está,
  • é a derivada da altura em relação ao tempo.

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na expressão:
  • ,
  • (negativo porque o raio está diminuindo),
  • ,
  • .
Substituindo na fórmula:

Passo 6

Vamos calcular cada parte separadamente:
Agora, somando essas duas partes:

Passo 7

Voltando à expressão de :

Resposta

A taxa de variação do volume no instante considerado é . Isso significa que o volume do cone está diminuindo a uma taxa de por minuto nesse momento.

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