Determine o volume do sólido que está dentro da esfera
, acima do plano
e abaixo do cone
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar o volume de um sólido que está dentro da esfera
, acima do plano
e abaixo do cone
. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrando em coordenadas cilíndricas. Vamos precisar entender como converter essas equações para coordenadas cilíndricas e estabelecer os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações no sistema de coordenadas cilíndricas, onde
,
e
.
-
Esfera: A equação
em coordenianas cilíndricas fica , ou seja, . -
Cone: A equação
em coordenadas cilíndricas é .
O sólido está acima do plano
(que é
) e abaixo do cone
.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração:
-
: Como a região é simétrica em torno do eixo , varia de a . -
: O raio vai de até onde o cone e a esfera se intersectam. Igualando das duas equações: → → → . -
: Para cada , varia do cone até a esfera .
A integral para o volume
fica:
Resposta
Calculando a integral:
Resolvendo a integral interna em
:
Calculando cada parte:
Aplicando os limites de
a
:
Portanto, o volume do sólido é
.
Exercícios relacionados
A altura de um cone circular reto está aumentando a uma taxa de
e o raio decrescendo a uma taxa de
. Ache a taxa de variação do volume no instante em que a altura é 200 cm e o raio é 60 cm .
Determine o volume do sólido limitado pela superfície
e pelos planos
e
.
Dado:
Dado:
Determine
,
e
.
Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares.
; onde
é a região delimitada por