Determine o volume do sólido que está dentro da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 2, acima do plano x y e abaixo do cone z = raiz(x^2 + y^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar o volume de um sólido que está dentro da esfera , acima do plano e abaixo do cone . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrando em coordenadas cilíndricas. Vamos precisar entender como converter essas equações para coordenadas cilíndricas e estabelecer os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações no sistema de coordenadas cilíndricas, onde , e .
  • Esfera: A equação em coordenianas cilíndricas fica , ou seja, .
  • Cone: A equação em coordenadas cilíndricas é .
O sólido está acima do plano (que é ) e abaixo do cone .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração:
  1. : Como a região é simétrica em torno do eixo , varia de a .
  2. : O raio vai de até onde o cone e a esfera se intersectam. Igualando das duas equações: .
  3. : Para cada , varia do cone até a esfera .
A integral para o volume fica:

Resposta

Calculando a integral:
Resolvendo a integral interna em :
Calculando cada parte:
Aplicando os limites de a :
Portanto, o volume do sólido é .

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A altura de um cone circular reto está aumentando a uma taxa de 40 cm / min e o raio decrescendo a uma taxa de 15 cm/min. Ache a taxa de variação do volume no instante em que a altura é 200 cm e o raio é 60 cm .
Determine o volume do sólido limitado pela superfície z=x raizx^2+x^2 y^2 e pelos planos x=0 ; x=2 ; y=0 ; y=1 e z=0.
Dado: integral sec ^3 x d x=12[sec x tan x+ln (sec x+tan x)]
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Calcule a integral dada colocando-a em coordenadas polares.
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