Altura inincial de um navio espacial
, velocidade inicial de pouso (vertitcal)
. Durante pouso, velocidade é proporcional para a distancia ate superficie de planeta. Quando velocidade de navio atinge
, pouso continua com essa velocidade ate um impacto com superficie. Qual é duração de pouso?
(é permitido dar estitmativa justificada, com accuração 10%)
(é permitido dar estitmativa justificada, com accuração 10%)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um navio espacial que está tentando pousar num planeta. A altura inicial dele é de
metros e a velocidade inicial de pouso é
metros por segundo. Durante o pouso, a velocidade do navio é proporcional à distância que falta para alcançar a superfície do planeta. Quando a velocidade chega a
metro por segundo, o navio mantém essa velocidade constante até bater na superfície. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo todo esse pouso vai levar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as variáveis que temos:
- Altura inicial (
): m - Velocidade inicial (
): m/s - Velocidade mínima constante (
): m/s
Vamos precisar relacionar a velocidade com a distância durante o pouso até atingir a velocidade mínima.
Passo 3
Como a velocidade é proporcional à distância até a superfície, podemos escrever essa relação como:
Onde:
-
é a velocidade do navio -
é a altura em um dado momento -
é a constante de proporcionalidade
O sinal negativo indica que a velocidade está direcionada para baixo, em direção à superfície.
Passo 4
Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Essa é uma equação diferencial que podemos resolver para encontrar
, a altura em função do tempo. Vamos resolver essa equação:
Dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Aqui,
é a altura inicial.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a constante
. Sabemos que na
, a velocidade é
m/s:
Passo 6
Vamos descobrir o tempo (
) que leva para a velocidade atingir
m/s:
Tomando o valor absoluto da velocidade:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Passo 7
Agora, vamos calcular a altura restante quando a velocidade chega a
m/s:
Passo 8
Com os
metros restantes e uma velocidade constante de
m/s, o tempo para cobrir essa distância é:
Resposta
A duração total do pouso é aproximadamente
segundos.
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