Altura inincial de um navio espacial 10^4 m, velocidade inicial de pouso (vertitcal) 10^3 m/s. Durante pouso, velocidade é proporcional para a distancia ate superficie de planeta. Quando velocidade de navio atinge 1 m/s, pouso continua com essa velocidade ate um impacto com superficie. Qual é duração de pouso?
(é permitido dar estitmativa justificada, com accuração 10%)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um navio espacial que está tentando pousar num planeta. A altura inicial dele é de metros e a velocidade inicial de pouso é metros por segundo. Durante o pouso, a velocidade do navio é proporcional à distância que falta para alcançar a superfície do planeta. Quando a velocidade chega a 1 metro por segundo, o navio mantém essa velocidade constante até bater na superfície. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo todo esse pouso vai levar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as variáveis que temos:
  • Altura inicial ( ): m
  • Velocidade inicial ( ): m/s
  • Velocidade mínima constante ( ): 1 m/s
Vamos precisar relacionar a velocidade com a distância durante o pouso até atingir a velocidade mínima.

Passo 3

Como a velocidade é proporcional à distância até a superfície, podemos escrever essa relação como:
Onde:
  • v é a velocidade do navio
  • h é a altura em um dado momento
  • k é a constante de proporcionalidade
    O sinal negativo indica que a velocidade está direcionada para baixo, em direção à superfície.

Passo 4

Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Essa é uma equação diferencial que podemos resolver para encontrar h(t), a altura em função do tempo. Vamos resolver essa equação:
Dividimos ambos os lados por h e multiplicamos por :
Integrando ambos os lados:
Onde C é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para h:
Aqui, é a altura inicial.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a constante k. Sabemos que na t = 0, a velocidade é m/s:

Passo 6

Vamos descobrir o tempo ( ) que leva para a velocidade atingir 1 m/s:
Tomando o valor absoluto da velocidade:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:

Passo 7

Agora, vamos calcular a altura restante quando a velocidade chega a 1 m/s:

Passo 8

Com os metros restantes e uma velocidade constante de 1 m/s, o tempo para cobrir essa distância é:

Resposta

A duração total do pouso é aproximadamente segundos.

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