d/y = y(y-1)(y-2)
Fazer esboço de campo de direções, posições de equilibrio.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial . O objetivo é fazer um esboço do campo de direções e identificar as posições de equilíbrio. Isso envolve entender onde a derivada é zero e como as soluções se comportam em torno desses pontos. Para resolver isso, vamos precisar identificar os pontos de equilíbrio e analisar a estabilidade deles.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio. Esses pontos são os valores de que fazem com que . Então, resolvemos a equação:

Passo 3

Resolvendo a equação acima, encontramos:
Esses são os pontos de equilíbrio.

Passo 4

Agora, vamos analisar a estabilidade de cada ponto de equilíbrio. Para isso, vamos verificar o sinal de em intervalos determinados por esses pontos.
  • Para :
    Escolhemos, por exemplo, :
    Assim, , ou seja, está diminuindo.
  • Para :
    Escolhemos :
    Assim, , ou seja, está aumentando.
  • Para :
    Escolhemos :
    Assim, , ou seja, está diminuindo.
  • Para :
    Escolhemos :
    Assim, , ou seja, está aumentando.

Passo 5

Com base nos sinais obtidos, podemos determinar a natureza de cada ponto de equilíbrio:
  • : muda de negativo para positivo passando por . Isso indica que é um ponto de equilíbrio instável (fonte).
  • : muda de positivo para negativo passando por . Isso indica que é um ponto de equilíbrio estável (seja uma sela ou um nó estável).
  • : muda de negativo para positivo passando por . Isso indica que é um ponto de equilíbrio instável (fonte).

Resposta

Os pontos de equilíbrio são , e . No campo de direções:
  • Para : as soluções diminuem.
  • Entre : as soluções aumentam em direção a .
  • Entre : as soluções diminuem em direção a .
  • Para : as soluções aumentam.
Portanto, e são pontos de equilíbrio instáveis, enquanto é um ponto de equilíbrio estável.

Exercícios relacionados

Altura inincial de um navio espacial 10^4 m, velocidade inicial de pouso (vertitcal) 10^3 m/s. Durante pouso, velocidade é proporcional para a distancia ate superficie de planeta. Quando velocidade de navio atinge 1 m/s, pouso continua com essa velocidade ate um impacto com superficie. Qual é duração de pouso?
(é permitido dar estitmativa justificada, com accuração 10%)
Analisar a continuidade da função
f(x, y) = { raiz(1 - x^2 - y^2) se x^2 + y^2 <= 1; 0 se x^2 + y^2 > 1 }
Para superficie z(x, y) = cos(x^2 + y^2) achar uma EDO exata, para curvas de nivel z(x, y) = const
Um tanque é enchido com um fluxo constante de água a 1 m^3/s de cima e simultaneamente esvaziado do buraco por baixo a uma velocidade de sigma * raiz(2 * g * h) * m^3 / s. Após 15 minutos, o nível da água h(t) atinge 1 m. A seção transversal do tanque é constante, 2 m^2. A) Determina EDO que descreve comportamento do nível da água, encontre uma solução geral. B)Encontre o nível máximo de água possível no tanque (aproximadamente). C) Encontre o tempo necessario para atingir o nível máximo.
(é permitido dar estitmativa justificada, com accuração 10%)