Fazer esboço de campo de direções, posições de equilibrio.
Fazer esboço de campo de direções, posições de equilibrio.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial
. O objetivo é fazer um esboço do campo de direções e identificar as posições de equilíbrio. Isso envolve entender onde a derivada
é zero e como as soluções se comportam em torno desses pontos. Para resolver isso, vamos precisar identificar os pontos de equilíbrio e analisar a estabilidade deles.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio. Esses pontos são os valores de
que fazem com que
. Então, resolvemos a equação:
Passo 3
Resolvendo a equação acima, encontramos:
Esses são os pontos de equilíbrio.
Passo 4
Agora, vamos analisar a estabilidade de cada ponto de equilíbrio. Para isso, vamos verificar o sinal de
em intervalos determinados por esses pontos.
-
Para
:
Escolhemos, por exemplo,: Assim,, ou seja, está diminuindo. -
Para
:
Escolhemos: Assim,, ou seja, está aumentando. -
Para
:
Escolhemos: Assim,, ou seja, está diminuindo. -
Para
:
Escolhemos: Assim,, ou seja, está aumentando.
Passo 5
Com base nos sinais obtidos, podemos determinar a natureza de cada ponto de equilíbrio:
-
: muda de negativo para positivo passando por . Isso indica que é um ponto de equilíbrio instável (fonte). -
: muda de positivo para negativo passando por . Isso indica que é um ponto de equilíbrio estável (seja uma sela ou um nó estável). -
: muda de negativo para positivo passando por . Isso indica que é um ponto de equilíbrio instável (fonte).
Resposta
Os pontos de equilíbrio são
,
e
. No campo de direções:
- Para
: as soluções diminuem. - Entre
: as soluções aumentam em direção a . - Entre
: as soluções diminuem em direção a . - Para
: as soluções aumentam.
Portanto,
e
são pontos de equilíbrio instáveis, enquanto
é um ponto de equilíbrio estável.