d/y = y(y-1)(y-2)
Fazer esboço de campo de direções, posições de equilibrio.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial . O objetivo é fazer um esboço do campo de direções e identificar as posições de equilíbrio. Isso envolve entender onde a derivada é zero e como as soluções se comportam em torno desses pontos. Para resolver isso, vamos precisar identificar os pontos de equilíbrio e analisar a estabilidade deles.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio. Esses pontos são os valores de que fazem com que . Então, resolvemos a equação:

Passo 3

Resolvendo a equação acima, encontramos:
Esses são os pontos de equilíbrio.

Passo 4

Agora, vamos analisar a estabilidade de cada ponto de equilíbrio. Para isso, vamos verificar o sinal de em intervalos determinados por esses pontos.
  • Para :
    Escolhemos, por exemplo, :
    Assim, , ou seja, está diminuindo.
  • Para :
    Escolhemos :
    Assim, , ou seja, está aumentando.
  • Para :
    Escolhemos :
    Assim, , ou seja, está diminuindo.
  • Para :
    Escolhemos :
    Assim, , ou seja, está aumentando.

Passo 5

Com base nos sinais obtidos, podemos determinar a natureza de cada ponto de equilíbrio:
  • : muda de negativo para positivo passando por . Isso indica que é um ponto de equilíbrio instável (fonte).
  • : muda de positivo para negativo passando por . Isso indica que é um ponto de equilíbrio estável (seja uma sela ou um nó estável).
  • : muda de negativo para positivo passando por . Isso indica que é um ponto de equilíbrio instável (fonte).

Resposta

Os pontos de equilíbrio são , e . No campo de direções:
  • Para : as soluções diminuem.
  • Entre : as soluções aumentam em direção a .
  • Entre : as soluções diminuem em direção a .
  • Para : as soluções aumentam.
Portanto, e são pontos de equilíbrio instáveis, enquanto é um ponto de equilíbrio estável.

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