Analisar a continuidade da função
Passo 1
Beleza, vamos analisar a continuidade da função
que está definida por partes. Isso faz parte da matéria de cálculo multivariável, onde a gente estuda funções de mais de uma variável. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade em funções de duas variáveis e verificar se a função se comporta bem em todos os pontos do seu domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função
é contínua em um ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Vamos aplicar isso à nossa função.
Passo 3
A função
está definida de duas maneiras:
Então, temos duas regiões para considerar: dentro do círculo de raio 1 (
) e fora desse círculo (
).
Passo 4
Vamos verificar a continuidade em pontos dentro de cada região e na fronteira entre elas (
).
Passo 5
Dentro do círculo (
):
Aqui, a função é , que é uma função composta de funções contínuas (raiz quadrada e polinômios). Portanto, ela é contínua em todo ponto onde está definida, ou seja, dentro do círculo.
Aqui, a função é
Passo 6
Fora do círculo (
):
Aqui, a função é constante 0, que é claramente contínua em toda a região.
Aqui, a função é constante 0, que é claramente contínua em toda a região.
Passo 7
Na fronteira (
):
Precisamos verificar se o limite de quando
se aproxima de um ponto da fronteira é igual ao valor da função nesse ponto.
Precisamos verificar se o limite de
Para
, a função é:
Vamos calcular o limite:
onde
.
Ao se aproximar da fronteira de dentro (
):
Ao se aproximar de fora (
):
Ambos os limites são iguais a 0, que é o valor da função na fronteira. Portanto, a função é contínua na fronteira.
Resposta
A fun�o
é contínua em todo o seu domínio, incluindo na fronteira onde
.
Exercícios relacionados
Discuta a continuidade das seguintes funções:
Mostre, encontrando caminhos (que passem pelos pontos onde se avalia o limite), que os limites dados não existem:
.
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, velocidade inicial de pouso (vertitcal)
. Durante pouso, velocidade é proporcional para a distancia ate superficie de planeta. Quando velocidade de navio atinge
, pouso continua com essa velocidade ate um impacto com superficie. Qual é duração de pouso?
(é permitido dar estitmativa justificada, com accuração 10%)
(é permitido dar estitmativa justificada, com accuração 10%)
Fazer esboço de campo de direções, posições de equilibrio.