Analisar a continuidade da função
f(x, y) = { raiz(1 - x^2 - y^2) se x^2 + y^2 <= 1; 0 se x^2 + y^2 > 1 }

Passo 1

Beleza, vamos analisar a continuidade da função que está definida por partes. Isso faz parte da matéria de cálculo multivariável, onde a gente estuda funções de mais de uma variável. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade em funções de duas variáveis e verificar se a função se comporta bem em todos os pontos do seu domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se o limite de quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Vamos aplicar isso à nossa função.

Passo 3

A função está definida de duas maneiras:
Então, temos duas regiões para considerar: dentro do círculo de raio 1 ( ) e fora desse círculo ( ).

Passo 4

Vamos verificar a continuidade em pontos dentro de cada região e na fronteira entre elas ( ).

Passo 5

Dentro do círculo ( ):
Aqui, a função é , que é uma função composta de funções contínuas (raiz quadrada e polinômios). Portanto, ela é contínua em todo ponto onde está definida, ou seja, dentro do círculo.

Passo 6

Fora do círculo ( ):
Aqui, a função é constante 0, que é claramente contínua em toda a região.

Passo 7

Na fronteira ( ):
Precisamos verificar se o limite de quando se aproxima de um ponto da fronteira é igual ao valor da função nesse ponto.
Para , a função é:
Vamos calcular o limite:
onde .
Ao se aproximar da fronteira de dentro ( ):
Ao se aproximar de fora ( ):
Ambos os limites são iguais a 0, que é o valor da função na fronteira. Portanto, a função é contínua na fronteira.

Resposta

A funç��o é contínua em todo o seu domínio, incluindo na fronteira onde .

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