Analisar a continuidade da função
f(x, y) = { raiz(1 - x^2 - y^2) se x^2 + y^2 <= 1; 0 se x^2 + y^2 > 1 }

Passo 1

Beleza, vamos analisar a continuidade da função que está definida por partes. Isso faz parte da matéria de cálculo multivariável, onde a gente estuda funções de mais de uma variável. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade em funções de duas variáveis e verificar se a função se comporta bem em todos os pontos do seu domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se o limite de quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Vamos aplicar isso à nossa função.

Passo 3

A função está definida de duas maneiras:
Então, temos duas regiões para considerar: dentro do círculo de raio 1 ( ) e fora desse círculo ( ).

Passo 4

Vamos verificar a continuidade em pontos dentro de cada região e na fronteira entre elas ( ).

Passo 5

Dentro do círculo ( ):
Aqui, a função é , que é uma função composta de funções contínuas (raiz quadrada e polinômios). Portanto, ela é contínua em todo ponto onde está definida, ou seja, dentro do círculo.

Passo 6

Fora do círculo ( ):
Aqui, a função é constante 0, que é claramente contínua em toda a região.

Passo 7

Na fronteira ( ):
Precisamos verificar se o limite de quando se aproxima de um ponto da fronteira é igual ao valor da função nesse ponto.
Para , a função é:
Vamos calcular o limite:
onde .
Ao se aproximar da fronteira de dentro ( ):
Ao se aproximar de fora ( ):
Ambos os limites são iguais a 0, que é o valor da função na fronteira. Portanto, a função é contínua na fronteira.

Resposta

A funç��o é contínua em todo o seu domínio, incluindo na fronteira onde .

Exercícios relacionados

Discuta a continuidade das seguintes funções:
f(x, y)=cc(x^2+y^2) ln (x^2+y^2) & se (x, y) neq(0,0) , 1 & se (x, y)=(0,0)
Mostre, encontrando caminhos (que passem pelos pontos onde se avalia o limite), que os limites dados não existem:
lim (x, y) (0,0) x yy-x^8.
Altura inincial de um navio espacial 10^4 m, velocidade inicial de pouso (vertitcal) 10^3 m/s. Durante pouso, velocidade é proporcional para a distancia ate superficie de planeta. Quando velocidade de navio atinge 1 m/s, pouso continua com essa velocidade ate um impacto com superficie. Qual é duração de pouso?
(é permitido dar estitmativa justificada, com accuração 10%)
d/y = y(y-1)(y-2)
Fazer esboço de campo de direções, posições de equilibrio.