Discuta a continuidade das seguintes funções:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos uma função de duas variáveis,
, definida da seguinte forma:
Nosso objetivo é discutir a continuidade dessa função no ponto
. Para isso, precisamos verificar se o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja, se:
Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Para calcular o limite de
quando
se aproxima de
, é útil converter para coordenadas polares. Nas coordenadas polares,
e
, onde
é a distância do ponto até a origem e
é o ângulo.
Assim,
. Substituindo na função, temos:
Agora, queremos calcular:
Passo 3
Simplificando a expressão, observamos que
. Então:
Agora, analisamos o limite de
quando
tende a 0.
Passo 4
Sabemos que, quando
,
tende a
e
tende a 0. Temos, portanto, uma situação de indeterminação
.
Para resolver isso, podemos reescrever a expressão como:
Agora, temos uma forma
, que podemos avaliar aplicando a regra de L’Hôpital.
Passo 5
Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a
:
Derivada do numerador:
.
Derivada do denominador:
.
Então, o limite se torna:
Resposta
Como o limite de
quando
se aproxima de
é 0, que é diferente de
, a função
não é contínua no ponto
.