Discuta a continuidade das seguintes funções:
f(x, y)=cc(x^2+y^2) ln (x^2+y^2) & se (x, y) neq(0,0) , 1 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos uma função de duas variáveis, f(x, y) = (x^2 + y^2) ln (x^2 + y^2) & se (x, y) neq (0,0), 1 & se (x, y) = (0,0) , definida da seguinte forma:
lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = f(0,0) = 1
Nosso objetivo é discutir a continuidade dessa função no ponto . Para isso, precisamos verificar se o limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja, se:
Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Para calcular o limite de f(r, theta) = r^2 ln(r^2) quando limr to 0 r^2 ln(r^2) se aproxima de , é útil converter para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, e , onde é a distância do ponto até a origem e é o ângulo.
Assim, . Substituindo na função, temos:
Agora, queremos calcular:

Passo 3

Simplificando a expressão, observamos que f(r, theta) = r^2 cdot 2 ln(r) = 2 r^2 ln(r) . Então:
Agora, analisamos o limite de quando tende a 0.

Passo 4

Sabemos que, quando 2 r^2 ln(r) = 2 ln(r)1 / r^2 , tende a e tende a 0. Temos, portanto, uma situação de indeterminação .
Para resolver isso, podemos reescrever a expressão como:
Agora, temos uma forma , que podemos avaliar aplicando a regra de L’Hôpital.

Passo 5

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a limr to 0 2 cdot 1r-2r^3 = limr to 0 2r cdot r^3-2 = limr to 0 -r^2 = 0 :
Derivada do numerador: .
Derivada do denominador: .
Então, o limite se torna:

Resposta

Como o limite de quando se aproxima de é 0, que é diferente de , a função não é contínua no ponto .

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