A altura média de meninas entre 0 e 2 anos de idade pode ser aproximada pela função:
h(t) = 22,15 ln(t + 6) + 10,44
em que t é o tempo (em meses) transcorrido desde o nascimento e h é a altura (em cm).
a) Determine a altura média de meninas de 9 meses.
b) Estime em que idade as meninas atingem 80 cm de altura.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a altura média de meninas entre 0 e 2 anos usando a função , onde é o tempo em meses desde o nascimento e é a altura em centímetros. Vamos precisar usar conhecimentos de funções logarítmicas para calcular as partes a e b do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a): determinar a altura média de meninas com 9 meses de idade. Para isso, a gente vai substituir na função .

Passo 3

Substituindo na função:

Passo 4

Vamos calcular o que está dentro do logaritmo:
Então, a função fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular o logaritmo natural de 15. Sabemos que .

Passo 6

Multiplicando 22,15 por 2,708:
Então:

Passo 7

Somando os valores:

Passo 8

Agora, vamos para a parte b): estimar em que idade as meninas atingem 80 cm de altura. Isso significa que queremos encontrar quando .

Passo 9

Vamos montar a equação:

Passo 10

Primeiro, vamos isolar o termo do logaritmo subtraindo 10,44 de ambos os lados:

Passo 11

Agora, dividimos ambos os lados por 22,15 para isolar o logaritmo:

Passo 12

Para eliminar o logaritmo natural, usamos a função exponencial em ambos os lados:

Passo 13

Calculando :
Então:

Passo 14

Finalmente, subtraímos 6 de ambos os lados para encontrar :

Resposta

a) A altura média de meninas com 9 meses de idade é aproximadamente 70,38 cm.
b) As meninas atingem 80 cm de altura por volta de 17,1 meses após o nascimento.

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