Calcule o trabalho realizado por um campo vetorial F = x i + y j quando uma partícula se desloca ao longo da curva definida por r(t) = a cos(t) i + b sen(t) j, para 0 <= t <= pi / 2.
Qual o trabalho da mesma força ao longo da curva fechada correspondente à elipse r(t) = a cos(t) i + b sen(t) j para 0 <= t <= 2 pi ? A força F(x, y) é conservativa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular o trabalho realizado por um campo vetorial quando uma partícula se move ao longo de uma curva elíptica definida por , para 0 <= t <= pi/2. Também queremos saber o trabalho ao percorrer toda a elipse de 0 até e verificar se a força F(x, y) é conservativa. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como o cálculo de trabalho através de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva. A fórmula para o trabalho W é dada por:
Aqui, C é a curva ao longo da qual a partícula se move, F é o campo vetorial, e é o vetor deslocamento diferencial ao longo da curva.

Passo 3

Vamos parametrizar a curva usando . Para encontrar , derivamos vec(r)(t) em relação a t:

Passo 4

Agora, substituímos F e na fórmula do trabalho:
Sabemos que , então substituindo vec(r)(t):

Passo 5

Fazendo o produto escalar :
Simplificando:

Passo 6

Agora, integramos essa expressão de 0 a pi / 2:
Sabemos que pode ser integrado usando a identidade :

Passo 7

Integrando :
Aplicando os limites de integração:
Sabendo que e :

Passo 8

Agora, vamos calcular o trabalho ao longo da curva fechada, ou seja, para . Usando a mesma abordagem:
Aplicando a mesma identidade:
Como e :

Passo 9

Por fim, vamos verificar se a força é conservativa. Uma força é conservativa se o trabalho ao percorrer qualquer caminho fechado for zero, o que acabamos de ver que é o caso quando . Porém, na nossa expressão do trabalho fechado, o resultado foi zero independentemente dos valores de a e b. Além disso, podemos verificar se existe uma função potencial tal que . Calculando:
Então,
Como existe essa função potencial, a força F é conservativa.

Resposta

O trabalho realizado pela força F ao longo da curva definida por 0 <= t <= pi/2 é . O trabalho ao percorrer toda a elipse de é zero. Além disso, a força F(x, y) é conservativa.

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