Calcule o trabalho realizado por um campo vetorial
quando uma partícula se desloca ao longo da curva definida por
, para
.
Qual o trabalho da mesma força ao longo da curva fechada correspondente à elipse
para
? A força
é conservativa?
Qual o trabalho da mesma força ao longo da curva fechada correspondente à elipse
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular o trabalho realizado por um campo vetorial
quando uma partícula se move ao longo de uma curva elíptica definida por
, para
. Também queremos saber o trabalho ao percorrer toda a elipse de
até
e verificar se a força
é conservativa. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como o cálculo de trabalho através de integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como calcular o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva. A fórmula para o trabalho
é dada por:
Aqui,
é a curva ao longo da qual a partícula se move,
é o campo vetorial, e
é o vetor deslocamento diferencial ao longo da curva.
Passo 3
Vamos parametrizar a curva usando
. Para encontrar
, derivamos
em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na fórmula do trabalho:
Sabemos que
, então substituindo
:
Passo 5
Fazendo o produto escalar
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, integramos essa expressão de
a
:
Sabemos que
pode ser integrado usando a identidade
:
Passo 7
Integrando
:
Aplicando os limites de integração:
Sabendo que
e
:
Passo 8
Agora, vamos calcular o trabalho ao longo da curva fechada, ou seja, para
. Usando a mesma abordagem:
Aplicando a mesma identidade:
Como
e
:
Passo 9
Por fim, vamos verificar se a força
é conservativa. Uma força é conservativa se o trabalho ao percorrer qualquer caminho fechado for zero, o que acabamos de ver que é o caso quando
. Porém, na nossa expressão do trabalho fechado, o resultado foi zero independentemente dos valores de
e
. Além disso, podemos verificar se existe uma função potencial
tal que
. Calculando:
Então,
Como existe essa função potencial, a força
é conservativa.
Resposta
O trabalho realizado pela força
ao longo da curva definida por
é
. O trabalho ao percorrer toda a elipse de
é zero. Além disso, a força
é conservativa.
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