Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é um método para determinar se uma série infinita converge ou não. Precisamos entender um pouquinho sobre séries de potências e como aplicamos esse teste.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Ele nos diz até onde os valores de fazem a série convergir. Para encontrá-lo, usamos o Teste da Razão, que envolve calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. A fórmula do teste é:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Identificando os termos da nossa série, temos:
an = x^nln n
Então, o termo seguinte será:
an+1 = x^n+1ln (n+1)
Passo 5
Agora, vamos calcular a razão an+1an = x^n+1ln (n+1)x^nln n = x^n+1 cdot ln nx^n cdot ln (n+1) = x cdot ln nln (n+1) :
A gente simplificou o e pra ficar apenas , e o resto ficou com os logaritmos.
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite L = limn to infty | x cdot ln nln (n+1) | :
limn to infty ln nln (n+1) = 1
Sabemos que quando L = |x| cdot 1 = |x| vai pro infinito, e são praticamente iguais, então:
Portanto, o limite fica:
Passo 7
Agora, aplicando o Teste da Razão:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste não nos dá informação.
Então, o raio de convergência é .
Passo 8
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que o raio é 1, então a série converge para em . Mas precisamos verificar o que acontece nos pontos finais e .
Passo 9
Vamos testar sumn=2^infty 1^nln n = sumn=2^infty 1ln n :
sumn=2^infty (-1)^nln n
Essa série diverge, pois o termo geral não tende a zero rapidamente o suficiente.
Agora, para :
Aqui, a série é alternada. Podemos usar o Teste da Série Alternada que diz que se os termos diminuem em valor absoluto e tendem a zero, a série converge. Como é decrescente e tende a zero, a série converge para .
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .