Uma partícula que se desloca no plano x y parte da origem no tempot t = 0 com velocidade inicial v = 2 ĵ. Sabendo que a aceleração da partícula é dada por a = -3i + 2t j, encontre a posição da partícula no tempo t = 2 s.

Passo 1

Vamos começar entendendo o problema. Temos uma partícula que parte da origem do plano no tempo com uma velocidade inicial de . A aceleração da partícula é dada por . Nosso objetivo é encontrar a posição da partícula no tempo segundos. Para resolver isso, vamos usar as equações do movimento que relacionam aceleração, velocidade e posição.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as funções de velocidade em cada direção ( e ) integrando a aceleração em relação ao tempo. Isso porque a velocidade é a integral da aceleração.

Passo 3

Vamos começar com a direção :
Integrando a aceleração para encontrar a velocidade em :
Sabemos que a velocidade inicial em é zero (já que a velocidade inicial é apenas na direção ), então . Assim,

Passo 4

Agora, para a direção :
Integrando a aceleração para encontrar a velocidade em :
A velocidade inicial em é 2, então . Portanto,

Passo 5

Com as funções de velocidade encontradas, agora vamos integrar novamente para encontrar as posições em cada direção.
Para :
Como a posição inicial é na origem, . Então,
Para :
Com , temos:

Resposta

No tempo segundos, a posição da partícula é:

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