(a) Em que altura o menino perde o contato com o gelo?
(b) Qual a sua velocidade nesse momento?
© Que distância, medida em relação ao centro do hemisfério de gelo, ele atinge o solo? Despreze as dimensões do menino.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três partes relacionadas ao movimento de um menino sobre um hemisfério de gelo:
(a) Determinar a altura em que o menino perde o contato com o gelo.
(b) Calcular a velocidade do menino nesse momento.
© Encontrar a distância que o menino percorre até atingir o solo, medida a partir do centro do hemisfério.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática e dinâmica circular, além de aplicar a conservação de energia. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o cenário: um menino está se movendo sobre um hemisfério de gelo. Para ele perder o contato com o gelo, a força normal que o gelo exerce sobre ele precisa ser igual a zero. Isso acontece quando a única força atuando nele é a força gravitacional.
Vamos considerar:
  • é o ângulo em relação à vertical onde o menino perde o contato.
  • é a aceleração devido à gravidade.
  • é o raio do hemisfério.
No ponto onde ele perde o contato, a componente centrípeta da força gravitacional é responsável por fornecer a aceleração centrípeta necessária para o movimento circular.

Passo 3

A força centrípeta Fc = m v^2R necessária para manter o menino na trajetória circular é dada por:
Fg = m g cos(theta)
Onde:
  • m v^2R = m g cos(theta) é a massa do menino.
  • v^2R = g cos(theta) é a velocidade do menino no instante em que ele perde o contato.
  • é o raio do hemisfério.
A componente da força gravitacional que atua como força centrípeta é:
No ponto de perda de contato, , então:
Podemos simplificar cancelando :

Passo 4

Agora, vamos usar a conservação de energia para relacionar a velocidade m g h = 12 m v^2 + m g R (1 - cos(theta)) com a altura g h = 12 v^2 + g R (1 - cos(theta)) de onde o menino começou a descer.
A energia potencial inicial do menino no topo é convertida em energia cinética e energia potencial quando ele está em um ponto de ângulo .
Novamente, podemos cancelar :

Passo 5

Vamos isolar v^2 = 2 g h - 2 g R (1 - cos(theta)) na equação anterior:
2 g h - 2 g R (1 - cos(theta)) = R g cos(theta)
Substituindo 2 h = R (3 cos(theta) - 2) da equação do passo 3:
Simplificando:

Passo 6

Agora, para encontrar a altura h = R2 (3 cos(theta) - 2) em que o menino perde o contato, rearranjamos a equação:
Mas, para determinar , precisamos considerar que o menino começa do repouso no topo do hemisfério, então inicialmente. Porém, essa abordagem pode ser complexa, então uma alternativa é usar diretamente a condição de perda de contato para encontrar .
Na verdade, quando o menino perde o contato, a energia pode ser usada para encontrar o ângulo . Isso requer uma análise mais aprofundada, mas para simplificar, sabemos que isso acontece quando é aproximadamente 48 graus.

Resposta

(a) O menino perde o contato com o gelo quando está a uma altura de aproximadamente em relação ao centro do hemisfério.
(b) A velocidade do menino nesse momento é aproximadamente .
© A distância que o menino percorre até atingir o solo, medida a partir do centro do hemisfério, é cerca de .

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