Um bloco de massa MMM está preso a uma mola de constante elástica kkk sobre uma superfície horizontal de coeficiente de atrito cinético
com o bloco. No momento em que a mola não está distendida o bloco tem uma velocidade inicial v0v_0v0. Mostre que a distância que o bloco percorrerá antes de parar é
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem um bloco de massa
preso a uma mola com constante elástica
, sobre uma superfície horizontal com atrito cinético de coeficiente
. No instante inicial, quando a mola não está esticada, o bloco tá com uma velocidade inicial
. A pergunta é: qual a distância que o bloco vai percorrer até parar?
Aqui, vamos usar conceitos de dinâmica e energia, além de considerar o atrito que age contra o movimento do bloco.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam no bloco:
-
Força da mola (
): Quando a mola está comprimida ou esticada, ela exerce uma força restauradora proporcional ao deslocamento , dada por: -
Força de atrito (
): O atrito cinético que age contra o movimento é calculado por: Ondeé a força normal.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton para o movimento do bloco. A força resultante
é a soma das forças da mola e do atrito:
Isso nos dá a equação do movimento:
Passo 4
Vamos usar o princípio da conservação da energia. A energia mecânica inicial do bloco é apenas a energia cinética, já que a mola não está esticada:
A energia final, quando o bloco para, é toda armazenada na mola e perdida pelo atrito:
A energia perdida pelo atrito é:
Então, a conservação da energia nos dá:
Passo 5
Vamos reorganizar essa equação para resolver para
:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Passo 6
Essa é uma equação quadrática na forma
, onde:
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver
:
Substituindo os valores:
Simplificando dentro da raiz:
Fatorando 4 e simplificando:
Cancelando o 2:
Como a distância
não pode ser negativa, descartamos a solução com o sinal negativo:
Resposta
A distância que o bloco percorrerá antes de parar é:
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.
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