Um bloco de massa MMM está preso a uma mola de constante elástica kkk sobre uma superfície horizontal de coeficiente de atrito cinético com o bloco. No momento em que a mola não está distendida o bloco tem uma velocidade inicial v0v_0v0. Mostre que a distância que o bloco percorrerá antes de parar é .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem um bloco de massa preso a uma mola com constante elástica , sobre uma superfície horizontal com atrito cinético de coeficiente . No instante inicial, quando a mola não está esticada, o bloco tá com uma velocidade inicial . A pergunta é: qual a distância que o bloco vai percorrer até parar?
Aqui, vamos usar conceitos de dinâmica e energia, além de considerar o atrito que age contra o movimento do bloco.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam no bloco:
  1. Força da mola ( ): Quando a mola está comprimida ou esticada, ela exerce uma força restauradora proporcional ao deslocamento , dada por:
  2. Força de atrito ( ): O atrito cinético que age contra o movimento é calculado por:
    Onde é a força normal.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton para o movimento do bloco. A força resultante é a soma das forças da mola e do atrito:
Isso nos dá a equação do movimento:

Passo 4

Vamos usar o princípio da conservação da energia. A energia mecânica inicial do bloco é apenas a energia cinética, já que a mola não está esticada:
A energia final, quando o bloco para, é toda armazenada na mola e perdida pelo atrito:
A energia perdida pelo atrito é:
Então, a conservação da energia nos dá:

Passo 5

Vamos reorganizar essa equação para resolver para :
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:

Passo 6

Essa é uma equação quadrática na forma , onde:
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver :
Substituindo os valores:
Simplificando dentro da raiz:
Fatorando 4 e simplificando:
Cancelando o 2:
Como a distância não pode ser negativa, descartamos a solução com o sinal negativo:

Resposta

A distância que o bloco percorrerá antes de parar é:

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