Um bloco de massa MMM está preso a uma mola de constante elástica kkk sobre uma superfície horizontal de coeficiente de atrito cinético mu backslash mu mu com o bloco. No momento em que a mola não está distendida o bloco tem uma velocidade inicial v0v_0v0. Mostre que a distância que o bloco percorrerá antes de parar é [(mu Mg 2+2 v 0 kM) 1 / 2-mu Mg] / k[(backslash mu M g g^wed>=+ 2 v 0 kM)^wed>=1 / 2-backslash mu Mg] / k[(mu Mg 2+2 v 0 kM) 1 / 2-mu Mg] / k.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem um bloco de massa preso a uma mola com constante elástica , sobre uma superfície horizontal com atrito cinético de coeficiente . No instante inicial, quando a mola não está esticada, o bloco tá com uma velocidade inicial . A pergunta é: qual a distância que o bloco vai percorrer até parar?
Aqui, vamos usar conceitos de dinâmica e energia, além de considerar o atrito que age contra o movimento do bloco.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam no bloco:
  1. Força da mola ( Fmola = -k x ): Quando a mola está comprimida ou esticada, ela exerce uma força restauradora proporcional ao deslocamento Fatrito = mu N = mu M g , dada por:
  2. Força de atrito ( ): O atrito cinético que age contra o movimento é calculado por:
    Onde é a força normal.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton para o movimento do bloco. A força resultante Fres = Fmola - Fatrito = -k x - mu M g é a soma das forças da mola e do atrito:
M d^2xdt^2 = -k x - mu M g
Isso nos dá a equação do movimento:

Passo 4

Vamos usar o princípio da conservação da energia. A energia mecânica inicial do bloco é apenas a energia cinética, já que a mola não está esticada:
Einicial = 12 M v0^2
A energia final, quando o bloco para, é toda armazenada na mola e perdida pelo atrito:
Efinal = 12 k x^2
A energia perdida pelo atrito é:
Eatrito = mu M g x
Então, a conservação da energia nos dá:
12 M v0^2 = 12 k x^2 + mu M g x

Passo 5

Vamos reorganizar essa equação para resolver para 12 k x^2 + mu M g x - 12 M v0^2 = 0 :
k x^2 + 2 mu M g x - M v0^2 = 0
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:

Passo 6

Essa é uma equação quadrática na forma a = k, b = 2 mu M g, c = -M v0^2 , onde:
x = -b pm raizb^2 - 4 a c2 a
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver x = -2 mu M g pm raiz(2 mu M g)^2 - 4 k (-M v0^2)2 k :
x = -2 mu M g pm raiz4 mu^2 M^2 g^2 + 4 k M v0^22 k
Substituindo os valores:
x = -2 mu M g pm 2 raiz mu^2 M^2 g^2 + k M v0^22 k
Simplificando dentro da raiz:
x = -mu M g pm raiz mu^2 M^2 g^2 + k M v0^2k
Fatorando 4 e simplificando:
x = raiz mu^2 M^2 g^2 + k M v0^2 - mu M g k
Cancelando o 2:
Como a distância não pode ser negativa, descartamos a solução com o sinal negativo:

Resposta

A distância que o bloco percorrerá antes de parar é:
x = , raiz,mu^2 M^2 g^2 + k M v0^2, ; - ; mu M g,,k,

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